Problème N°1: Seuil de rentabilité
Une entreprise produit et vend des composants électroniques. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 2 000 et 18 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
Léo, responsable des ventes, veut étudier la rentabilité de son entreprise. Soit x le nombre de pièces produites, en milliers, les coûts de production sont donnés en fonction de x par
`p(x) = 2x^2 – 26x + 102`, le prix de vente hors taxe d’un composant est 14 €.
Exprimer en fonction de x le chiffre d’affaires c(x) de l’entreprise.
c(x) =
2) Expliquer pourquoi c(x) - p(x) traduit la rentabilité correspondant à la fabrication de x milliers de composants électroniques. (Écrire vrai ou faux).
- Car la rentabilité d’une entreprise est liée au bénéfice, le bénéfice se calcule de cette manière. .
- Car c(x) - p(x) donne le nombre de composants produits et donc la rentabilité. .
- Car la rentabilité est toujours positive, on a donc toujours un bénéfice. .
- Car la fabrication de x milliers de composants entraîne toujours un bénéfice étant donné le nombre. .
3) Exprimer c(x) - p(x) en fonction de x. (On utilisera le symbole ^ pour exprimer une puissance, ne pas mettre d’espace entre les termes.)
c(x) - p(x) = .
4) On admet que le bénéfice mensuel de l’entreprise est modélisé par la fonction `f(x) = -2x^2 + 40x - 102` où x est le nombre de milliers de pièces produites. Un tracé de sa courbe correspond à l’une des deux représentations ci-dessous.

a) Laquelle des deux courbes correspond à la fonction ? Pourquoi ?
La courbe correspond à la fonction car : (écrire vrai ou faux)
- un bénéfice correspond toujours à une parabole tournée vers le haut. .
- le coefficient a > 0. .
- le coefficient a < 0. .
b) Déterminer graphiquement le seuil de rentabilité , c’est à dire la quantité minimale de pièces à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice. (Attention aux unités !)
L’entreprise doit produire au moins pièces pour réaliser un bénéfice.
5) Retrouver ce résultat par le calcul en résolvant l’équation f(x) = 0.
`Delta = b^2 - 4ac` =
Calculer les solutions x₁ et x₂.
`x_1 = (-b + sqrt(Delta))/(2a)` =
`x_2 = (-b - sqrt(Delta))/(2a)` =