I) Rappels de première :
1) Suites numériques :
2) Suites arithmétiques :
3) Problème :
II) Suites géométriques :
1) Activité :
2) Définition :
3) Calcul du terme d’une suite géométrique connaissant le premier terme.
4) Sens de variation d’une suite géométrique :
5) Représentation graphique d’une suite géométrique :
6) Somme des termes d’une suite géométrique :
7) Rappels : Coefficient multiplicateur associé à un pourcentage :
III) Exercices :
Exercice N°1 :
Exercice N°2 :
Exercice N°3 :
Exercice N°4 :
Exercice N°5 :
Exercice N°6 :

☺ Une suite numérique, notée u_n, est une suite de nombres dont les termes successifs sont notés U₀, U₁, U₂, … U_n. (n ∈ ℕ, cela signifie que n est un entier naturel, il ne peut prendre que les valeurs entières 0, 1, 2, ………)
U₀ est le terme de rang   0  .
U₁ est le terme de rang   1  .
......
U_n est le terme de rang   n  . (On prononce « U_n » ou « U indice n », on utilise la lettre n comme naturel.).
U_n-1 est le terme qui précède U_n.
U_n+1 est le terme qui suit U_n.

☺ Une suite numérique est définie :
- Soit à l’aide d’une formule générale : u_n = f(n), où f est une fonction définie sur un ensemble de nombres entiers n. (Ex : u_n = 5 – 2n)
- Soit à l’aide d’une relation de récurrence qui exprime le premier terme de la suite u₁ et le terme u_n+1 en fonction de u_n. (Ex : u₁ = 2 et u_n+1 = 3u_n + 0,5)

☺ Une suite est représentée, dans le plan rapporté à un repère, par des points de coordonnées (n ; U_n).

☺ La suite u_n est croissante signifie que pour tout entier n, on a u_n+1 ≥ u_n.

La suite u_n est décroissante signifie que pour tout entier n, on a u_n+1 ≤ u_n.

☺ Une suite arithmétique est une suite de nombres, chacun d’eux s’obtient en ajoutant au précédent un nombre constant appelé raison.

Notation : Dans une suite les termes sont notés u₁, u₂, u₃, …… u_n .

u₁ est le premier terme (Parfois le premier terme est u₀, ce qui veut dire que le quatrième terme par exemple est u₃).
u_n est le terme de rang   n  , u_{n + 1} = u_n + r.
La raison est notée   r   .

☺ Calcul d’un terme d’une suite arithmétique connaissant le premier terme :

u_n = u₁ + (n - 1)r (Attention le premier terme est u₁.)

u_n = u₀ + nr (Attention le premier terme est u₀.)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer l’expression générale d’une suite arithmétique ( 6 min 09 )

☺ La représentation graphique d’une suite arithmétique est une série de points alignés sur une droite de coefficient directeur r et d’ordonnée à l’origine u₀.

☺ Variation d’une suite arithmétique :

Une suite arithmétique est croissante si r > 0.
Une suite arithmétique est décroissante si r < 0.

☺ Pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique, on utilise la formule :

S =

nombre de termes x (premier terme + dernier terme) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2

.

Une société de restauration collective a été créée au début du mois de septembre. Cette société commercialise des plats bios préparés. Elle a vendu 6 540 repas en septembre, elle estime que le nombre de repas augmentera de 130 repas par mois pendant les trois années à venir.
On désigne par u₁ le nombre de repas vendus en septembre, u₂ le nombre de repas vendus en octobre etc.

Répondre aux questions:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Calculer les termes u₁, u₂ et u₃.

u₁ =        u₂ =        u₃ =       

b) Quelle est la nature de la suite un ? Donner sa raison et son premier terme.

La suite u_n est une suite quelconque arithmétiquegéométrique de raison r = et de premier terme u₁ = .

c) Calculer u₃₆.

u₃₆ = .

d) On admet que la somme des n premiers termes de cette suite u_n est donnée par la relation S_n =

n ━━━

2

(u₁ + u_n).
Calculer le nombre total de repas vendus sur trois années si les hypothèses de la société s’avéraient exactes. (Compléter la formule avec les nombres dans l'ordre d'apparition des termes de cette même formule...)

S =

━━━

( + ) = .

Une préparation culinaire est stockée dans de mauvaises conditions d’hygiène. Lorsque la chaine du froid est rompue, le nombre de bactéries augmente considérablement.
Le nombre de bactéries présentes dans ce type de préparation est de 12 au moment de la rupture du froid. On note u₁ ce nombre initial de bactéries. On mesure toutes les 20 min l’évolution de ce nombre de bactéries.
On note u₂ le nombre de bactéries au bout de 20 min, u₃ au bout de 40 min etc. Les valeurs mesurées sont les suivantes :

u₂ = 24      u₃ = 48      u₄ = 96      u₅ = 192.

Répondre aux questions:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Calculer les rapports :       

u2 ━━━

u1

=       

u3 ━━━

u2

=       

u4 ━━━

u3

=       

u5 ━━━

u4

=

Que pouvez dire de ces rapports ?

Ces rapports sont égaux à

Compléter les égalités :

u₂ = u₁ x        u₃ = u₂ x        u₄ = u₃ x        u₅ = u₄ x

Les thermes u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅ pris dans cet ordre forment une suite quelconque arithmétiquegéométrique de premier terme u₁ = et de raison q = .

☺ Une suite u_n est géométrique lorsque chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre appelé raison. Ce nombre est souvent noté   q   (En bac pro, ce nombre sera toujours positif).
u_{n + 1} = u_n x q pour tout nombre n entier.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Reconnaitre la nature d'une suite ( 6 min 45 )

On considère la suite géométrique u_n de premier terme u₁ et de raison q. Ecrire les termes suivants en fonction de u₁, puis vous généraliserez l’expression (on utilisera le point comme symbole de multiplication).

1er terme	u1	u0
2ème terme	u2 = u1.q	u1 = u0.q
3ème terme	u3 = u2.q = u1.q.q = u1.q2	u2 = u1.q = u0.q.q = u0.q2
4ème terme	u4 = u3.q = u1.q2.q = u1.q3	u3 = u2.q = u0.q2.q = u0.q3
:	:	:
nème terme	un = u1.qn-1	un = u0.qn

☺ Si u_n est une suite géométrique de raison q.
Lorsque le premier terme de la suite est u₁, alors le n^ème terme u_n = u₁.q^n-1.
Lorsque le premier terme de la suite est u₀, alors le n^ème terme u_n = u₀.qⁿ.

a) Observons l’évolution les termes d’une suite géométrique en fonction de q si u₀ > 0.

Dans les cas suivants, donner les quatre premiers termes des suites géométriques de premier terme u₀ = 3 et indiquer si la suite de nombre est croissante, constante ou décroissante.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Si q = 0,5      u₀ = 3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

Si q = 1      u₀ = 3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

Si q = 4      u₀ = 3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

b) Observons l’évolution les termes d’une suite géométrique en fonction de q si u₀ < 0.

Dans les cas suivants, donner les quatre premiers termes des suites géométriques de premier terme u₀ = -3 et indiquer si la suite de nombre est croissante, constante ou décroissante.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Si q = 0,5      u₀ = -3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

Si q = 1      u₀ = -3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

Si q = 4      u₀ = -3      u₁ =        u₂ =        u₃ =

La suite est croissante constantedécroissante

☺ Le sens de variation d’une suite géométrique est donné dans le tableau suivant :

	0 < q < 1	q = 1	q > 1
u0 > 0	décroissante	constante	croissante
u0 < 0	croissante	constante	décroissante

On considère la suite géométrique u_n de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 3. Répondre aux questions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Calculer les cinq premiers termes de la suite.

u₀ =        u₁ =        u₂ =        u₃ =        u₄ =

Représenter les points de cette suite sur le graphique suivant (attention, on ne relie pas les points car n ∈ ℕ):

Pour placer les points, cliquer sur le point et sans lâcher le clic, le déplacer le plus prés possible de sa valeur. Pour corriger le graphique cliquer sur correction en desous de celui-ci...

☺ La somme des termes consécutifs d’une suite géométrique est donnée par la formule :
S =

Premier terme x

(1 - qnombre de termes) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ (1 - q)

.

(Pensez à mettre des parenthèses au numérateur et au dénominateur afin d'éviter les problèmes de priorités des opérations.)

Exemple : Calculer la somme des cinq premiers termes de la suite précédente. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

S = x

(   ) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

(  )

= .

☺Lorsqu’un nombre augmente de t%, on multiplie ce nombre par

t 1 + ━━━

100

Lorsqu’un nombre diminue de t%, on multiplie ce nombre par

t 1 - ━━━

100

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Calculer une évolution ( 5 min 06 )

Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Donner les quatre premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 3,5 et de raison 3.

u₁ =        u₂ =        u₃ =        u₄ =

Calculer le dixième terme.

u₁₀ = x = .

Calculer la somme de ces dix premiers termes.

S = x

(   ) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

(  )

= .

Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Donner les quatre premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 8 et de raison 1,25.

u₁ =        u₂ =        u₃ =        u₄ =

Calculer le sixième terme (arrondir au millième).

u₆ = x = .

Calculer la somme de ces six premiers termes (arrondir au centième).

S = x

(   ) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

(  )

= .

Un responsable de magasin spécialisé en informatique voit ses ventes de tablettes numériques augmenter chaque année. Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Les ventes sont répertoriées dans le tableau suivant :

Années	2017	2018	2019	2020
Nombre de tablettes vendues	2 000	2 200	2 387	2 626

On constate que l’évolution du nombre de tablettes vendues est proche du modèle mathématique suivant :

Années	2017	2018	2019	2020
Rang n	1	2	3	4
Terme un	2 000	2 200	2 420	2 662

1) Indiquer la nature, le premier terme et la raison de cette suite.

C’est une suite quelconque arithmétiquegéométrique de premier terme u₁ = et de raison q = .

2) Calculer le terme de rang 8.

u₈ = .

3) Calculer la somme de ces 8 premiers termes (arrondir à l’unité).

S = .

4) Compléter la phrase.

Pour son bilan prévisionnel, le responsable souhaite vendre tablettes en 2024, le nombre de tablettes vendues sur la période 2017 – 2024 sera alors de tablettes.

Le tableau ci-dessous montre l’évolution du nombre d’écussons qui seront fabriqués par une grande marque de vêtements. Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Les ventes sont répertoriées dans le tableau suivant :

Années	2018	2019	2020	2021	2022	2023
Nombre d'écussons un	u1 = 5 000	u2 = 5 500	u3 = 6 050	u4 =	u5 =	u6 =

1) On admet que la production u_n définie une suite géométrique. Déterminer la raison q de cette suite. Compléter les égalités avec les valeurs prises dans l'ordre d'apparition du tableau.

q =

━━━━━━━━━

=

━━━━━━━━━

= .

2) Calculer le nombre d’écussons u₆ qui sera fabriqué en 2023.

u₆ = écussons.

3) Calculer l’accroissement annuel en pourcentage de la fabrication de cet écusson entre 2018 et 2019.

Accroissement annuel =

( - ) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━

x = soit %.

4) Calculer le nombre total d’écussons fabriqués sur cette période de six ans.

Nombre total = écussons.

La masse d’un bébé augmente d’environ 10% par mois durant sa première année de vie. Marc pesait 3,600 kg à sa naissance en mars. Répondre aux questions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

1) Déterminer le coefficient multiplicateur q correspondant à une augmentation de 10%.

q = .

2) Calculer la masse théorique de Marc pour sa visite médicale du 1^er et du 2^ème mois.

Masse théorique pour le 1^er mois = kg.
Masse théorique pour le 2^ème mois = kg.

3) Déterminer la masse de Marc à 12 mois (arrondir à l’unité).

Masse à 12 mois = u₀ x q = kg.

4) Indiquer le rang correspondant aux 4 ans de Marc.

Le rang correspondant aux 4 ans de Marc est .

5) Si la masse évoluait toujours de la même manière, calculer la masse de Marc à 4 ans (arrondir à l’unité).

Masse de Marc à 4 ans = u₀ x q = kg.

Est-ce réaliste ? Oui NonOn ne peut pas savoir.

Dans une médiathèque, la direction souhaite renouveler le stock disponible au prêt et augmenter le parc informatique (avec accès internet) mis à disposition du public. Pour trouver les moyens financiers, elle souhaite augmenter le nombre d’adhérents.
Partie A : Etude de l’évolution du nombre d’adhérents.
On étudie l’évolution du nombre d’adhérents en fonction du temps pour la première période passée. Répondre aux questions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Cette évolution est donnée dans le tableau suivant:

Années	2014	2015	2016
Nombre d'adhérents	210	225	240

On appelle u₁ le nombre d’adhérent en 2014 et u_n le nombre d’adhérents pour l’année (2013 + n).

1) Indiquer la nature, le premier terme et la raison de cette suite.

C’est une suite quelconque arithmétiquegéométrique de premier terme u₁ = et de raison r = .

2) Calculer u₄ et u₅.

u₄ =      u₅ = .

3) Exprimer u_n en fonction de n et donner le résultat sous la forme u_n = an + b. (On mettra les opérateurs + et - dans les cases vertes.)

u_n = n    .

4) Si ce modèle de croissance est valable jusqu’en 2022, quel sera le nombre d’adhérents en 2022 ?

En 2022, u = adhérents.

Partie B : Etude marketing
La direction décide de diminuer légèrement les tarifs d’adhésion afin de favoriser l’augmentation des adhérents. Une étude marketing estime, qu’avec ces nouveaux tarifs, le nombre d’adhérents augmentera de 6% par an après 2022. Répondre aux questions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

On appelle v₁ le nombre d’adhérents en 2022 et v_n le nombre d’adhérents en (2021 + n).

1) Calculer v₂ et v₃. Arrondir à l’unité.

v₂ =      v₃ = .

2) Précisez la nature, le premier terme et la raison de cette suite numérique.

C’est une suite quelconque arithmétiquegéométrique de premier terme v₁ = et de raison q = .

3) Exprimez v_n en fonction de n. (On mettra les exposants dans la case rouge et l'opérateur x dans la case verte.)

v_n =    .

4) Si ce modèle de croissance est valable jusqu’en 2027, quel sera le nombre d’adhérents en 2027 ?

En 2027, u =    = adhérents.

5) En supposant que l’augmentation d’adhérents suit ce rythme, en quelle année la médiathèque pourra-t-elle compter 525 adhérents. (Utiliser le mode graphique de la calculatrice pour répondre à cette question.)

Graphiquement, on trouve n = , ce qui correspond à l'année .