Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Rappels de première :
Exercice N°1 :
Exercice N°2 :
II) Probabilité conditionnelle :
III) Utilisation d’un tableau croisé :
IV) Utilisation d’un arbre de probabilités pondéré :
V) Exercices :
Exercice N°1 :
Exercice N°2 :
Exercice N°3 :
VI) Indépendance de deux événements :
1) Montrer que deux événements sont indépendants.
2) Exercice :

☺ La réunion de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
On note A ⋃ B et on lit « A union B »

☺ L’intersection de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A et l’événement B.
On note A ⋂ B et on lit « A inter B »

☺Deux événements sont contraires si :
- Ils n’ont aucun résultat en commun.
- La réunion de leur résultat forme l’univers.
On note A l’événement contraire de A. On lit « A barre ».

A et A sont des évènements complémentaires. A ⋂ A = ∅ et A ⋃ A = Ω.

☺La probabilité d’un évènement correspond au nombre d’issues favorables divisé par le nombre d’issues total.

☺ p(A) = 1 - p(A)
p(A ⋃ B) = p(A) + p(B) – p(A ⋂ B)
Si A et B sont incompatibles, alors P(A ⋂ B) =  0  et p(A ⋃ B) = p(A) + p(B).

On lance un dé à six faces, on considère l’événement A « obtenir au moins 5 » et l’événement B « obtenir un nombre impair ». Répondre aux questions.
On fera apparaitre les issues dans l'ordre croissant, le nombre de cases réponses est supérieur au nombre nécessaire. Remplir les cases à partir de la gauche...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Ecrire les issues correspondantes à :

A = { ; ; ; }

B = { ; ; ; }

Calculer p(A) et p(B) (arrondir au millième):

p(A) =

━━━━━━

= .       p(B) =

━━━━━━

= .

Décrire l’évènement A ⋂ B : Obtenir au moins 5 et obtenir un nombre impair.

Ecrire les issues correspondantes à A ⋂ B :

A⋂B = { ; ; }

Calculer p(A ⋂ B) (arrondir au millième) :

p(A ⋂ B) =

━━━━━━

= .

Calculer p(A ⋃ B) (arrondir au millième) : p(A ⋃ B) = p(A) + p(B) – p(A⋂B) 1 - p(A)p(A) + p(B) =

Un jeu contient 32 cartes, la règle du jeu est la suivante : « Chaque joueur tire une carte, il gagne si c’est une figure.» Répondre aux questions.
On fera apparaitre les issues dans l'ordre croissant, le nombre de cases réponses est supérieur au nombre nécessaire. Remplir les cases à partir de la gauche...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

L’événement A permettant de gagner est le tirage d’une figure. Ecrire les résultats correspondant à l’événement A.

A = { ; ; ; }

Calculer p(A) (arrondir au millième) :

p(A) =

━━━━━━

= .

L’événement contraire de A est noté A. Déterminer la probabilité de l’événement A.

p(A) = p(A) + p(B) – p(A⋂B) 1 - p(A)p(A) + p(B) =

On modifie la règle du jeu : « Pour gagner, il faut tirer une figure ou un as ». Déterminer la probabilité de l’événement B : « tirer un as ».

p(B) =

━━━━━━

= .

Les événements A et B sont-il incompatibles ? non car on peut oui car on ne peut pas tirer en même temps une figure et un as.

Calculer p(A⋃B).

p(A⋃B) = p(A) + p(B) – p(A⋂B) 1 - p(A)p(A) + p(B) =

☺Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé. L’ « univers des possibles » est restreint par la condition.
Soient A et B deux événements tels que la probabilité de A est non nulle. La probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisée, noté p_A(B), est définie par :

p_A(B) =

p(A⋂B) ━━━━━━

p(A)

avec p(A) ≠ 0.      p_A(B) se lit probabilité de B sachant A.

Cette formule peut évoluer en utilisant le cardinal qui correspond à l’effectif (nombre d’issues possibles) :

p_A(B) =

Card(A⋂B) ━━━━━━

card(A)

avec card(A) ≠ 0.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Calculer une probabilité conditionnelle à l’aide d’un tableau (2) ( 9 min 58 )

L’A.R.S (agence régionale de santé), constatant un taux élevé de cas de maladie alors que cette maladie est traitée par la vaccination, réalise une enquête auprès de ses habitants.
Sur les 400 personnes interrogées, 79% sont vaccinées, 10% des personnes interrogées sont tombées malades et 3% des personnes interrogées sont tombées malade en ayant été vaccinées.
Soit M l’évènement « la personne est malade ».
Soit V l’évènement « la personne est vaccinée ».

Répondre aux questions :
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Compléter le tableau croisé suivant :

	M	M	TOTAL
V
V
Total

b) Calculer les probabilités p(V) et p(M), en déduire les probabilités de p(V) et p(M).

p(V) =

━━━━━━

= .

p(M) =

━━━━━━

= .

p(V) = .          p(M) = .

c) Calculer au centième les probabilités conditionnelles P_V(M) et P_V(M), puis calculer P_V(M) + P_V(M)

P_V(M) =

━━━━━━

= .          P_V(M) =

━━━━━━

= .          P_V(M) + P_V(M) = .

La somme des probabilités conditionnelles d’une même colonne ou d’une même ligne est égale à   1  .

			PV(M) =	M
		V
	P(V) =		PV(M) =	M
	P(V) =		PV(M) =	M
		V
			PV(M) =	M

☺Un arbre de probabilités pondéré est un outil qui permet de calculer des probabilités. Partant d’une racine , il est constitué de branches qui mènent à des nœuds . Chaque nœud correspond à un événement dont la probabilité est notée sur la branche qui y mène.
La somme des probabilités partant d’un même nœud est égale à   1  .
Exemple : p(V) + p(V) = 0,79 + 0,21 = 1.

☺La probabilité de l’événement qui correspond à un chemin est égale au produit des probabilités notées sur les branches de ce chemin.
Exemple : le chemin repéré par p(V ⋂ M) = p(V) x p_V(M) = 0,21 x 0,33 = 0,07.

☺Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à cet événement.
Exemple : Calculer p(M). Il y a deux chemins qui conduisent à M.
p(M) = p(V ⋂ M) + p(V ⋂ M)
p(M) = p(V) x P_V(M) + p(V) x p_V(M) = 0,79 x 0,04 + 0,21 x 0,33 = 0,03 + 0,07 = 0,1. (Effectivement à partir du tableau croisé, nous avions trouvé p(M) = 0,1.)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Appliquer la formule des probabilités totales ( 11 min 57 )

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
L’entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB.
Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi :
- Parmi les ordinateurs vendus, 5% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2% ont aussi un disque défectueux.
- Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5% ont un disque dur défectueux.
On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.
Suite à l’achat d’un ordinateur :

Proposition 1 :
La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,8 à 0,01 près.

Proposition 2 :
La probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,048 5.

Proposition 3 :
Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02.

Afin de résoudre le problème, vous créerez un arbre de probabilités pondéré. On détermine pour cela deux évènements :
L’évènement B : « la batterie est défectueuse ».
L’évènement D : « le disque dur est défectueux ». Déplacer les lettres correspondantes aux évènement dans les cases en pointillé...Attention, à chaque noeud, l'évènement est placé avant sont contraire (A se situe au dessus de A).
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

Proposition 1 :
La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,8 à 0,01 près. Le calcul de la probabilité ne sera pas arrondi.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Pour vérifier cette proposition, il faut calculer:

p(B ⋂ D)        p(B ⋂ D)        p(B ⋂ D)        p(B ⋂ D)

Cette probabilité est égale à qui est différent de égal àvraiefausse 0,8. Cette proposition est différent de égal àvraiefausse.

Proposition 2 :
La probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,048 5. Le calcul de la probabilité ne sera pas arrondi.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Pour vérifier cette proposition, il faut calculer:

p(D) = p(B ⋂ D) + p(B ⋂ D)        p(D) = p(B ⋂ D) + p(B ⋂ D)

p(D) = p(B ⋂ D) + p(B ⋂ D)        p(D) = p(B ⋂ D) + p(B ⋂ D)

Cette probabilité est égale à qui est différent de égal àvraiefausse 0,048 5. Cette proposition est différent de égal àvraiefausse.

Proposition 3 :
Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02. Le calcul de la probabilité sera arrondi au millième.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Pour vérifier cette proposition, il faut calculer:

pD(B) =	p(B ⋂ D) ━━━━━━━━━
	p(D)

      

pB(D) =	p(B ⋂ D) ━━━━━━━━━
	p(D)

pD(B) =	p(B) + p(D) ━━━━━━━━━
	p(D)

      

pD(B) =	p(D) ━━━━━━━━━
	p(B ⋂ D)

Cette probabilité est égale à qui est différent de égal àvraiefausse 0,02. Cette proposition est différent de égal àvraiefausse.

Une étude a été réalisée dans deux entreprises A et B qui fabriquent des trottinettes. On sait que 40% des trottinettes proviennent de l’entreprise A et que parmi celles-ci 40% sont électriques alors qu’il n’y a que 20% de trottinettes de l’entreprise B qui sont électriques.
On choisit au hasard une trottinette dans l’ensemble de la production. On note les événements :
A « la trottinette provient de l’entreprise A ».
B «la trottinette provient de l’entreprise B ».
E « la trottinette est électrique ».

a) Compléter le tableau croisé suivant :
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

	A	B	TOTAL
E
E
Total			100

b) Compléter l’arbre de probabilités pondérées. Déplacer les lettres correspondantes aux évènement dans les cases en pointillé...Attention, à chaque noeud, l'évènement est placé dans l'ordre alphabétique et avant sont contraire (A se situe au dessus de A).
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

Un sac contient dix pièces de monnaie, trois de ces dix pièces sont truquées. Une pièce truquée permet d’obtenir face 8 fois sur 10. On pioche au hasard une pièce dans ce sac et on la lance. On note les événements :
T « la pièce est truquée ».
F « on obtient face au lancé ».

a) Compléter l’arbre de probabilités pondérées. Déplacer les lettres correspondantes aux évènement dans les cases en pointillé...Attention, à chaque noeud, l'évènement est placé dans l'ordre avant sont contraire (A se situe au dessus de A).
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

b) Quelle est la probabilité d’obtenir « face ».Le calcul de la probabilité ne sera pas arrondi.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Pour déterminer cette probabilité, il faut calculer:

p(F) = p(T ⋂ F) + p(T ⋂ F)        p(F) = p(T ⋂ F) + p(T ⋂ F)

p(F) = p(T ⋂ F) + p(T ⋂ F)        p(F) = p(T ⋂ F) + p(T ⋂ F)

Cette probabilité est égale à .