Statistique à deux variables en terminale (Programme 2021) .

Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

Pour pouvoir lire les mots de vocabulaire cachés (fond jaune), il suffit de passer la souris sur le mot.

Sommaire

I) Rappels de première :
II) Courbe de tendance :
III) Modèle d’ajustement :
IV) Exercices :
Exercice résolu :
Exercice N°1:
Exercice N°2 :
Exercice N°3 :

I) Rappels de première :

☺ Une série statistique qui possède deux caractères quantitatifs est dite à deux variables. Ces valeurs sont de la forme (xi ; yi).
Pour représenter graphiquement une série statistique à deux variables, on place les points M(xi ; yi) dans un repère orthogonal.
L’ensemble des points est appelé nuage de points. On peut déterminer un point moyen G(x ; y).
Lorsque les points d’un nuage de points paraissent presque alignés, il existe une relation (corrélation) entre les deux variables. On peut réaliser un ajustement affine, c'est-à-dire tracer une droite qui passe par le point moyen et qui passe au plus près de l’ensemble des points.


Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer et tracer la droite d'ajustement : ( 10 min 10 )

☺ En utilisant les TIC (techniques informatique de calculs), on peut juger de la qualité d’une corrélation en calculant le coefficient de détermination r2. Une corrélation est forte quand r2 se rapproche de   1  .


☺ L’ajustement affine donnant une tendance, on peut l’utiliser pour faire des prévisions, des estimations sur d’autres valeurs que celles observées.
On dit qu’on extrapole quand on cherche une valeur au delà de l’intervalle des valeurs étudiées et qu’on interpole quand on cherche une valeur dans l’intervalle des valeurs étudiées.


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II) Courbe de tendance :

Une plate forme de films en streaming vient d’entamer sa cinquième année. L’évolution du nombre d’abonnés dans le monde est donnée dans le tableau suivant :

Rang de l'année (xi) Nombre d'abonnées
(en millions) (yi)
1 71
2 89
3 110
4 139
5 167


A partir de la calculatrice, faire apparaitre le nuage de points correspondant à cette série statistique à deux variables. Donner l’équation de la droite de régression ainsi que le coefficient r2 (Arrondir r2 au dix millième).
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Afficher la droite d’ajustement avec la Casio 35+ : ( 4 min 06 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Afficher la droite d’ajustement avec une T.I. 83 : ( 5 min 15 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous.
Vidéo : Afficher la droite d’ajustement avec une Numworks : ( 1 min 13 )

L’équation de la droite de régression est y = x + avec r2 = .

Si la courbe d’abonnés se poursuit en ce sens quel pourrait être le nombre d’abonnés :
- dans deux ans ?
- dans cinq ans ?
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Dans deux ans le nombre d’abonnés sera de millions.
Dans cinq ans le nombre d’abonnés sera de millions.

Le choix de ce mode d’ajustement était-il le meilleur ? Déterminer r2 pour un ajustement polynomial de degré 2 et de debré 3. Quel est le meilleur ajustement ? (Les valeurs seront arrondies au dix millième.)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous.
Vidéo : Afficher d'autres modèles d’ajustement avec une Numworks : ( 1 min 17 )

On identifie le symbole d’ajustement polynomial de degré 2 sur :

- Une Casio par le symbole Casio_2.JPG
- Une T.I. par le symbole TI_2.JPG

On identifie le symbole d’ajustement polynomial de degré 3 sur :

- Une Casio par le symbole Casio_3.JPG
- Une T.I. par le symbole TI_3.JPG

Pour un ajustement polynomial de degré 2: r2 =

Pour un ajustement polynomial de degré 3: r2 =

Le meilleur ajustement est l’ajustement .

Ecrire l’équation de la courbe d’ajustement choisi (arrondir les coefficients au centième si nécessaire):
(Ne rien écrire dans les cases inutiles, on mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes...)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

y = x3    x2    x    .

Puisque la courbe d’abonnés ne correspond pas à une régression linéaire. Refaire les calculs afin d’obtenir le nombre d’abonnés dans deux ans puis dans cinq ans (Penser à utiliser le mode tableau de votre calculatrice).
(Les valeurs seront arrondies à l'unité si nécessaire.)               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Dans deux ans le nombre d’abonnés sera de millions.
Dans cinq ans le nombre d’abonnés sera de millions.

On constate que les valeurs sont différentes des précédentes, il est donc nécessaire d’obtenir une courbe de tendance pour laquelle le coefficient r2 est le plus proche possible de 1.

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III) Modèle d’ajustement :

L’observation des points tracés par un outil graphique (calculatrice ou logiciel) nous permet de déterminer le modèle d’ajustement le plus approprié. Ce modèle est choisi en observant la forme du nuage de points parmi les ajustements suivants :

Affine : y = ax + b Polynomial d’ordre 2 : y = ax2 + bx + c
Lineaire.JPG Ordre2.JPG
Polynomial d’ordre 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d Logarithmique : y = a.lnx + b
Ordre3.JPG Logarithmique.JPG
Exponentiel : y = a.bx ou y = a.ebx Puissance : y = ax
Exponentiel.JPG Puissance.JPG


Remarque : Lorsque l’on choisit un ajustement polynomial, on peut remarquer que plus l’ordre grandit, plus la valeur de r2 se rapproche de 1. On obtient de ce fait des fonctions plus compliquées. Il faudra plus regarder l’allure de la courbe pour faire son choix.

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IV) Exercices :

Exercice résolu :

On donne la série statistique quantitative à deux variables suivante.

      xi       2 3 4 7 11 14
yi 12 14,8 17,3 22,8 24,2 21,8


a) Représenter la série statistique par un nuage de points à l’aide de la calculatrice.

CASIO T.I. NUMWORKS
Casio_1.JPG TI_1.JPG

Cette calculatrice propose une régression linéaire
par défaut.

Numworks_1.JPG


b) Choisir l’ajustement le plus approprié pour cette série.

L’allure de la courbe nous incite à choisir une fonction polynomiale d’ordre deux.

c) Donner l’expression de cette fonction en arrondissant les coefficients de la fonction au centième. Donner la valeur de r2 (arrondir au millième).

CASIO T.I. NUMWORKS
Casio_4.JPG TI_4.JPG Numworks_4.JPG


y = -0,19x2 + 3,82x + 5,07      r2 = 0,999.

d) Déterminer la valeur de y (arrondie au dixième) si x vaut 9. Précisez s’il s’agit d’une interpolation ou d’une extrapolation.

Il s’agit d’une interpolation (x se situe à l’interrieur du tableau). En effet, utilisons le mode tableau de la calculatrice afin d’éviter de nombreux calculs.

CASIO T.I. NUMWORKS
Casio_5.JPG TI_5.JPG Numworks_5.JPG


Si x = 9 alors y = 24,1.

e) Déterminer la valeur de x inférieure à 10 (arrondie au dixième) si y = 20. Pour cela tracer la fonction obtenue précédemment et déterminer le point d’intersection avec la fonction y = 20.

Conseil: Regarde la vidéo ci-dessous.
Vidéo : Déterminer une intersection avec une T.I. (6 min 16) m@ths et ticques

Conseil: Regarde la vidéo ci-dessous.
Vidéo : Déterminer une intersection avec une Casio (6 min 13) m@ths et ticques

CASIO T.I. NUMWORKS
Casio_6.JPG TI_6.JPG Numworks_6.JPG


Si y = 20 alors x = 5,3. (Résolution graphique)

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Exercice N°1:

On donne la série statistique quantitative à deux variables suivante.

      xi       0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
yi 25,85 26,71 27,18 26,95 26,35


a) Représenter la série statistique par un nuage de points à l’aide de la calculatrice.       

b) Choisir l’ajustement le plus approprié pour cette série, vous indiquerez la valeur de r2. Les coefficients seronts arrondis au centième et r2 au millième. (Attention toutes les cases ne sont pas nécessaires, ne rien écrire dans les cases inutiles, on mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes, sauf s'il s'agit d'un signe pour le premier terme par exemple...)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

L’allure de la courbe nous incite à choisir une fonction .

y = x3    x2    x    .        r2 = .

c) Par interpollation, déterminer la valeur de y (arrondie au centième) qui correspond à x = 0,6. Par extrapollation, déterminer la valeur de y (arrondie au centième) qui correspond à x = 1,2.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Si x = 0,6 alors y =

Si x = 1,2 alors y =

d) Représenter graphiquement la fonction précédente sur [0 ; 1,6]. Déterminer sur [0 ; 0,7] la valeur de x (arrondie au centième) qui correspond à y = 26.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Si y = 26 alors x =

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Exercice N°2:

L’accompagnement du « très grand âge » devient un problème de société. Si en 2020 en France, on compte environ 21 000 centenaires, une étude prévoit qu’ils seront plus de 270 000 à l’horizon 2070.
On dispose des statistiques suivantes :

Années 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
Rang de l'année 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de centenaires 976 1 123 1 544 3 761 8 062 14 505 20 943


a) Représenter graphiquement le nuage de points (Rang de l’année ; Nombre de centenaires).       

b) Déterminer le meilleur ajustement après avoir précisé sa nature (arrondir les coefficients au centième et r2 au millième). (Attention toutes les cases ne sont pas nécessaires, ne rien écrire dans les cases inutiles, on mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes, sauf s'il s'agit d'un signe pour le premier terme par exemple...)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

L’allure de la courbe nous incite à choisir une fonction .

y = x3    x2    x    .        r2 = .

c) Calculer le nombre de centenaires en 2030.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

En 2030, x = . Le nombre de centenaires sera

d) Cet ajustement confirme-t-il la prévision de 270 000 centenaire en 2070 ? (Attention avec la casio, il vaut mieux se positionner sur le nombre affiché dans le tableau car cette dernière fait une troncature et non un arrondi.)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

En 2070, x = . Le nombre de centenaires sera . La prévision de 270 000 centenaires atteinte.

e) Les statisticiens préfèrent utiliser un ajustement exponentiel de la forme y = aebx. (avec la Casio et la Numworks) et de la forme y = a(bx) (avec la Casio ou la T.I.). Donner l’équation de cet ajustement (les coefficients seront arrondis au centième) après avoir cocher le type de calculatrice utilisé.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Avec la Casio ou la Numworks     L’équation de la courbe d’ajustement exponentiel est y = ex.

Avec la Casio ou la T.I.    L’équation de la courbe d’ajustement exponentiel est y = (x).

f) Combien la France comptera de centenaires en utilisant le modèle y = ae0,57x. (Attention avec la casio, il vaut mieux se positionner sur le nombre affiché dans le tableau car cette dernière fait une troncature et non un arrondi.)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Utiliser la fonction tableau de la calculatrice. (Avec une Casio, on exprime ex avec les touches Casio_7.JPG. Avec une T.I., on utilise les touches TI_7.JPG. Avec la numworks Numworks_7.JPG.)

Avec ce modèle, la France comptera centenaires. La prévision de 270 000 centenaires dépassée.

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Exercice N°3:

Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’abonnés d’un compte que Jules a créé sur les réseaux sociaux.

Nombre de semaines 1 2 3 4 5
Nombre d'abonnés 152 178 209 256 296


a) Réaliser l’ajustement affine du nuage de points (Nombre de semaines ; Nombre d’abonnés). Donner l’équation de la droite d’ajustement et la valeur de r2 arrondie au millième.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

L’équation de la droite d’ajustement est y = x + avec r2 = .

b) Selon cette tendance, Jules aura combien d’abonnés la sixième semaine ?
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

La sixième semaine, il aura abonnés.

c) Dans combien de semaines les 500 abonnés pourraient être dépassés ?
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Jules pourrait dépasser les 500 abonnés au bout de semaines.

d) Son amie pense qu’un ajustement parabolique est plus adapté. Réaliser l’ajustement parabolique en donnant les coefficients au centième près et la valeur de r2 au millième. On mettra les opérateurs + et - dans les cases vertes.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

y = x2    x    .        r2 = .

e) Avec ce nouvel ajustement, dire quant Jules pourra dépasser les 500 abonnés.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Il aurra dépassé les 500 abonnés dès la semaine.

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