Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Fonctions exponentielles de base q :
1) Définition :
2) Exemples :
3) Qu’est ce qu’une fonction exponentielle de base 10 ?
4) Propriétés opératoires des fonctions exponentielles de base 10 :
5) Étude du sens de variation de la fonction exponentielle de base 0,5 :
6) Exercices :
II) Fonction logarithme décimal :
1) Définition :
2) Qu’est ce qu’une fonction logarithme décimal ?
3) Étude de la fonction logarithme décimal :
4) Propriétés opératoires de la fonction logarithme décimal :
5) Exercices :
III) Équations inéquations :
1) Résoudre l’équation q^x = a :
2) Résoudre une inéquation du type qx ≥ b avec b > 0 :
3) Résoudre une équation du type log(x) = a avec x > 0 :

☺q étant un nombre strictement positif différent de 1.
Toute fonction qui à tout nombre réel q fait correspondre q^x est appelée fonction exponentielle de base q.

Les fonctions f(x) = 2^x ; g(x) = 0,5^x et h(x) = (

1 ━━

2

)^x sont des fonctions exponentielles de bases respectives 2 ; 0,5 et

1 ━━

2

.

Sur la calculatrice on utilise les touches pour la casio et pour la TI afin déterminer leurs valeurs.

a) On considère le tableau suivant qu’il faut compléter : (Arrondir au cent-millième si nécessaire.)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0
10x
x	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5
10x

b) Vérifier que les nombres de la deuxième ligne sont les termes consécutifs d’une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

C'est une suite géométrique de premier terme u₁ = et de raison q = . (Arrondir q au centième.)

c) Vérifier que les nombres de la deuxième ligne sont les termes consécutifs d’une suite géométrique dont le premier terme est 0,001 et de raison √10.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Puisque √10 = (Arrondir au centième.). La suite est bien une suite géométrique de premier terme 0,001 et de raison q = √10.

d) A l’aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [-3 ; 3,5] par f(x) = 10^x.
Fenêtre :
x_min = -3 ; x_max = 3,5 ; Pas = 1.
y_min = 0 ; y_max = 1 000 ; Pas = 100.        Pour faire varier la courbe, modifiez le coefficient q en bas du graphique.

x
10x

☺Quels que soient les nombres a et b :

10^a x 10^b = 10  ^{a + b}            

10a ━━━━

10b

= 10  ^{a - b}            

1 ━━━━

10b

= 10  ^{- b}             (10^a)^b = 10  ^ab  

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Simplifier une expression avec des exponentielles : ( 5 min 08 )

a) On considère le tableau suivant qu’il faut compléter : (Arrondir au centième si nécessaire.)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0
0,5x
x	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5
0,5x

b) A l’aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [-3 ; 3,5] par f(x) = 0,5^x.
Fenêtre :
x_min = -3 ; x_max = 3,5 ; Pas = 1.
y_min = 0 ; y_max = 10; Pas = 1.        Pour faire varier la courbe, modifiez le coefficient q en bas du graphique.

x
0,5x

Si q > 1 La fonction f : x → qx est croissante.		Si 0 < q < 1 La fonction f : x → qx est décroissante.

Exercice N°1 : Pour chacun des nombres donnés, l’écrire sous la forme 10ⁿ, puis sans calculatrice, donner sa valeur décimale. On mettra les puissances dans les cases rouges...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.

10³ x 10⁴ = =        10³ x 10^-5 = =        (10²)³ = =

102 ━━━━

105

= =       

10-3 ━━━━

10-1

= =        (10^-3)² = =

Exercice N°2 : Pour chacun des nombres donnés, l’écrire sous la forme 2ⁿ, puis avec la calculatrice, donner sa valeur décimale. On mettra les puissances dans les cases rouges...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.

2³ x 2⁴ = =        (2³)² = =        (2^-2)² = =

22 ━━━━

2-4

= =       

24 ━━━━

27

= =        2^-3 x 2⁷ = =

Exercice N°3 : Exprimer en fonction de 2^x les nombres suivants. On mettra les puissances dans les cases rouges...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.

2^3x = (2^x)      

22x ━━━━

24x

= = (2^x)       2^x x 2^3x = = (2^x)

☺La fonction logarithme décimal est définie pour tout x strictement positif par:
f(x) = log(x)      log(1) = 0      log(10) = 1

A l’écran de la calculatrice, on a tracé la courbe d’équation y₁ = 10^x et la droite d’équation y₂ = 0,5.
Fenêtre :
x_min = -1 ; x_max = 1 ; Pas = 0,5.
y_min = -1 ; y_max = 4; Pas = 1.        Pour faire varier y₂, modifiez le coefficient en bas du graphique. En positionnant la souris sur le point, vous pourrez lire son abscisse.

Répondre aux questions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.

On observe que l’équation 10^x = 0,5 a une solution. Donner une valeur approchée x₁ de cette solution (arrondir au centième si nécessaire).
x₁ ≈

De la même manière, résoudre graphiquement 10^x = 1 et 10^x = 3. On appelle x₂ et x₃ leurs solutions (arrondir au centième si nécessaire).
x₂ =        x₁ =

Calculer log(0,5), log(1) et log(3) (arrondir au centième si nécessaire).
log(0,5) =        log(1) =        log(3) =

On peut dire que l’équation

10^x = 0,5 a pour solution x = log(0,5)
10^x = 1 a pour solution x = log(1)
10^x = 3 a pour solution x = log(3)

Plus généralement :
☺Pour a > 0, l’équation 10^x = a possède une solution unique ; cette solution est appelée logarithme décimal de a ; on la note x = log(a).

La fonction logarithme décimal est la fonction f définie pour tout x > 0 par f(x) = log(x).
Sur la calculatrice on utilise les touches pour la casio et pour la TI afin déterminer leurs valeurs.

A l’écran de la calculatrice, tracer la courbe représentative de f.
Fenêtre :
x_min = 0 ; x_max = 20 ; Pas = 1.
y_min = -1 ; y_max = 2; Pas = 0.5.
A partir de l’observation du graphique, compléter le sens de variation de f définie sur ]0 ; + ∞[. On dispose les flèches par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides. On écrira -inf pour - ∞ et +inf pour + ∞...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

x
log(x)

☺Quels que soient les nombres a et b strictement positifs.

log (ab) = log(a) + log(b)

log(aⁿ) = nlog(a)
log(

a ━━

b

) = log(a) – log(b)
log(

1 ━━

b

) = – log(b)

Quelque soit le nombre x, log(10^x) =   x  .

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Appliquer les formules du logarithme décimal : ( 7 min 11 )

Exercice N°1 : Compléter le tableau de valeurs après avoir écrit les nombres x du tableau sous la forme d’une puissance de 10. On mettra les exposants dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x	0,001	0,01	0,1	1	10	100	1 000
x	10	10	10	10	10	10	10
log(x)

Pour chaque écriture obtenue, comparer l’exposant et le logarithme décimal.

Le logarithme décimal est égal à l’exposant de la puissance de 10.

Sachant que, pour n entier positif ou négatif, on a log(an) = nlog(a). Montrer que
log(10ⁿ) = n

log(10ⁿ) = nlog(10¹)
log(10ⁿ) =   1n  
log(10ⁿ) =   n  

Exercice N°2 : Exprimer en fonction de log(2) et de log(3) les nombres suivants : On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

log(24) = log(2 x ) = log(2) + log() = log() + log().

log(

2 ━━

27

) = log() – log() = log() – log( ) = log() – log().

log(108) = log(4 x ) = log(4) + log() = log( ) + log( ) = log() + log().

Exercice N°3 :Mettre sous la forme d’un seul logarithme les expressions suivantes, puis les calculer en donnant les résultats arrondis au millième. On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

X = log(

3 ━━

5

) + log(

10 ━━

9

) = log(

━━

x

━━

) = log(

━━

) = .

Y = log(

4 ━━

9

) - log(

7 ━━

3

) = log(

━━ ━━━━━━

━━

) = log(

━━

x

━━

) = log(

━━

) = .

Exercice N°4 :Sachant que (√10)² = 10, montrer que log(√10 ) =

1 ━━

2

. On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(√10)² = 10

(√10)² = (10)

(√10) =

(√10) =

━━

⚠ Attention pour résoudre cette équation, il faut que a > 0. En effet, on va utiliser la fonction logarithme décimal et le log d’une valeur négative n’existe pas.

q^x = a

On prend le logarithme décimal de chaque membre.

log(q^x) = log(a)

On utilise les propriétés opératoires des logarithmes.

xlog(q) = log(a)

x =

log(a) ━━━━━━

log(q)

.

Exercice :Résoudre les équations suivantes, donner une valeur approchée du résultat au centième : On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(1,3)x = 2 = = x = ━━━━━━ x = .

(2,5)x = 0,1 = = x = ━━━━━━ x = .

q^x ≥ b

On prend le logarithme décimal de chaque membre et puisque la fonction logarithme est croissante, on peut écrire :

Log(q^x) ≥ log(b)

On utilise les propriétés opératoires des logarithmes.

xlog(q) ≥ log(b)

On distingue alors deux cas :

Si q > 1 alors log(q) > 0 On obtient x ≥ log(b) ━━━━━━ log(q) S = [ log(b) ━━━━━━ log(q) ; + ∞ [

Si 0 < q < 1 alors log(q) < 0 On obtient x ≤ log(b) ━━━━━━ log(q) S = ]- ∞ ; log(b) ━━━━━━ log(q) ]

On résout de la même manière l’inéquation q^x ≤ b.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation ou une inéquation à l’aide du log : ( 6 min 16 )

Exercice :Résoudre les inéquations suivantes, donner une valeur approchée du résultat au centième : On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(1,09)x ≥ 2 ≥ ≤<> ≥ ≤<> Puisque 1,09 ≥ ≤<> 1 alors log(1,09) ≥ ≤<> 0 ≥ ≤<> ━━━━━━ ≥ ≤<>

(0,7)x ≤ 0,4 ≥ ≤<> ≥ ≤<> Puisque 0 ≥ ≤<> 0,7 ≥ ≤<> 1 alors log(0,7) ≥ ≤<> 0 ≥ ≤<> ━━━━━━ ≥ ≤<>

log(x) = a

Puisque a = log(10^a), on peut écrire :

log(x) = log(10^a)

et donc x = 10^a.

Exercice :Résoudre les équations suivantes (donner une valeur approchée du résultat au centième): On mettra les exposants dans les cases rouges. On traitera les nombres dans l'ordre d'apparition.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

log(x) = 2,5 = log( ) = =

log(x) = - 1,3 = log( ) = =

On peut résoudre une inéquation du même type.