Pour la suite de ce cours, il faut que geogebra soit installé sur votre ordinateur.On prendra GeoGebra Classique 5 qui me parait plus simple dans sa présentation.
Téléchargement de GeoGebra Classique 5. Si la configuration a l'installation est correcte, lorsque vous cliquez sur le lien suivant, l'ordinateur doit vous
proposer d'ouvrir le fichier avec GeoGebra.exe. Si ce n'est pas le cas, enregistrer ce fichier sur votre disque dur
et cliquer deux fois desssus pour le lancer.
Dans la fenêtre « saisie », on a tapé l’instruction y = x^2 qui permet de tracer la courbe de la fonction x --> x2.
On place un point A sur cette courbe, puis un point B, ces deux points sont mobiles sur la courbe. On trace la droite
(AB) en rouge, on met en évidence la pente de la droite qui correspond au coefficient directeur de celle-ci.
On positionne le point A sur la courbe de sorte que ses coordonnées deviennent (1 ; 1). On se propose ensuite de
faire glisser le plus prés possible de A le point B afin de pouvoir lire la valeur de la pente. Afin d’obtenir une
plus grande précision, il est possible de zoomer sur cette courbe.
En zoomant de plus en plus sur le point A et en approchant le plus possible le point B du point A, vers quelle
valeur tend le coefficient de la pente ? Il tend vers 2 .
☺La droite obtenue lorsque B se situe le plus prés possible de A s’appelle la tangente à la
courbe au point A(1 ; 1). Son coefficient directeur s’appelle le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse
1. On le note f’(1). Dans ce cas f'(1) = 2.
On approche une courbe en un point A(ⅹA ; yA) par une fonction affine. Le coefficient
directeur de la droite est le nombre dérivé au point d’abscisse ⅹA. On le note f’(ⅹA).
Soit C la courbe représentative de la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2.
On place les points M1, M2, M3 et M4 d’abscisses respectives –2, -1, 1,
et 2. On trace les tangentes T1, T2, T3 et T4 à la courbe passant par
ces points.
Répondre aux questions: Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
III) Dérivées des fonctions de référence et règles de dérivation :
a) Dérivée d’une fonction affine :
Si f(x) = ax + b alors f’(x) = a . (Ce qui est logique puisque le nombre dérivé est le coefficient directeur de la
tangente à la fonction qui est ici la droite elle-même.)
Exemple : f(x) = x2 alors f’(x) = 2x. f(x) = x3 alors f’(x) = 3x2. f(x) = x5 alors f’(x) = 5x4. f(x) = x12 alors f’(x) = 12x11.
☺Lorsqu’une fonction est multipliée par une constante, la dérivée de cette fonction sera
multipliée par la même constante. La dérivée de a.f(x) est a.f’(x).
Exemple : f(x) = 3x3 alors f’(x) = (3).(3).x2 = 9x2.
Exercice : Calculer les fonctions dérivées f’ des fonction f.
On mettra les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
x est obligatoirement écrit en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exemple : Soit f(x) = 3x3 + 2x2 – 4x - 6 . Pour déterminer la fonction dérivée de
f(x), on décompose celle-ci en 4 fonctions monômes g(x), t(x), h(x) et u(x) telles que: g(x) = 3x3 t(x) = 2x2 h(x) = - 4x u(x) = - 6
On applique la règle : la dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonction.
f’(x) = g’(x) + t’(x) + h’(x) + u’(x) = 9x2 + 4x –4.
Exercice : Calculer les fonctions dérivées f’ des fonction f.
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
x est obligatoirement écrit en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
IV) Utilisation de la fonction dérivée pour étudier les variations d’une fonction :
1) Activité :
Soit la courbe C de la fonction f(x) = x2 – 2x définie sur [-1 ; 4].
A partir de l’observation de la courbe , donner le tableau de variation de la fonction f sur [-1 ; 4]. Répondre aux questions
On dispose les flèches par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
Rappels: Pour étudier le signe de f'(x), il faut résoudre l'équation f'(x) = 0.
f'(x) = 0 2x - 2 = 0 2x = 2 x =
2 ━━━
2
x = 1
Si x < 1, prenons par exemple x = 0 et calculons f'(0) = 2(0) - 2 = -2. f'(x) est donc négatif pour x < 0 et positif pour x > 0.
Étudier sur [-1 ; 4], le signe de f’(x). Compléter le nouveau tableau de variation de la fonction f(x)
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
☺ Si pour la valeur x0 d’un intervalle I, la dérivée f’ s’annule et change de signe, alors la fonction f
admet en x0 un extremum (minimum ou maximum).
x
x0
f'(x)
-
0
+
f(x)
f(x0)
La fonction admet en x0 un minimum.
x
x0
f'(x)
+
0
-
f(x)
f(x0)
La fonction admet en x0 un maximum.
Exercice : On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-2 ; 2] par f(x) = -x2 + 3x + 4. répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
d) Tracer cette fonction à l’aide de la calculatrice. On peut appliquer les paramètres de la fenêtre suivants :
Fenêtre :
xmin = -2 xmax = 3 pas = 1
ymin = -7 ymax = 7 pas = 1
Vérifier la valeur du maximum à l’aide de la calculatrice.
c) Pour dresser le tableau de variation de la fonction f(x), on regarde à l’aide de la calculatrice le signe de
la dérivée f’(x).
f’(x) = 3x2 + 6x – 9 = 0 admet à priori deux solutions –3 et 1. On aurait pu trouver ces solutions par le
calcul. ∆ = b2 – 4ac
∆ = b2 – 4ac = 62 - 4(3)(-9) = 36 + 108 = 144
∆ > 0, l'équation admet deux solutions x1 et x2
x1 =
-b + √(Δ) ━━━━━━
2a
=
-6 + √(144) ━━━━━━
2(3)
=
-6 + 12 ━━━━━━
6
=
6 ━━━━━━
6
= 1
x2 =
-b - √(Δ) ━━━━━━
2a
=
-6 - √(144) ━━━━━━
2(3)
=
-6 - 12 ━━━━━━
6
=
-18 ━━━━━━
6
= -3.
2 points coupent l’axe des abscisses sur le graphique. Les points –3 et 1, nous les feront apparaître dans le
tableau de variation. Ces points sont des extrêma puisque la dérivée s'annule et change de signe.
Pour compléter le tableau, on déterminera f(-4), f(-3), f(1) et f(2). On pourra utiliser la fonction table de la
calculatrice.
x
-4
-3
1
2
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
21
28
-4
3
On distingue bien à partir des deux courbes, que lorsque f'(x) est positif, la fonction est croissante et
décroissante lorsque f'(x) est négatif.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-1 ; 3] par f(x) = x3 -
4,5x2 + 6x. Calculer la dérivée et compléter le tableau de variation de la fonction f(x).
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
Une étude a été menée par une entreprise de logistique afin de connaître le nombre de camions qui entrent dans
l’entrepôt à une heure donnée de la journée. Cette étude a conduit à modéliser le nombre N de camions entrant dans
l’entrepôt à l’heure t par la relation : N = 0,1t3 – 3,6t2 + 40,5t – 121. L’entreprise
réceptionne les camions entre 5 h et 17 h.
a) 1ère partie : Fonction et inéquation : Répondre aux questions.
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
b) 2ème partie : Exploitation des résultats : Répondre aux questions. Toutes les cases doivent contenir une valeur. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Les tarifs d’une compagnie aérienne pour un trajet donné varient en fonction de la durée exprimée en jours entre la
date de l’achat et la date de départ.
Pour un trajet aller-retour Paris Saint Denis de la Réunion, le prix du billet est donné par :
P(n) =
-3 600 ━━━━━━
n
- 4n + 1 440 où n est un entier appartenant à l’intervalle [5 ; 90].
Première partie : Calcul numérique. Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Deuxième partie : Étude de fonction . Répondre aux questions.
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte
ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Troisième partie : Application. Répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
On va étudier le lien entre la pente de la tangente à la courbe et la dérivée à l’aide logiciel Geogebra.
Lancer l’application Geogebra.
Répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
