Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Rappels : Le nombre dérivé et la fonction dérivée :
1) Droite et équation de droite :
2) Déterminer graphiquement l’équation d’une droite :
3) Comment approcher une courbe par une droite ?
4) Dérivée d’une fonction :
a) Dérivée d’une fonction affine :
b) Dérivée de la fonction carrée :
c) Dérivée d’une somme de fonctions :
d) Dérivée du produit d’une fonction par une constante :
e) Dérivée d’une fonction polynôme de degré 2 :
5) Dérivée et sens de variation d’une fonction :
6) Dérivée et extremum d’un fonction :
II) La fonction cube et sa dérivée :
III) Fonction polynôme de degré 3 :
IV) Variations d’une fonction cube à l’aide de sa dérivée :
1) Exemple :
2) Variations et extremum local :
3) Exercices :
V) Problème:

☺Une droite caractérise une fonction affine dont l’équation est y = ax + b.
a et b sont deux nombres réels. a est appelé le coefficient directeur de la droite et b l’ordonnée à l’origine. Si b = 0, on obtient une fonction linéaire y = ax.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer graphiquement l’expression d’une fonction affine : ( 11 min 55 )

On souhaite déterminer l’équation de la droite ci-dessous.



Lorsque x augmente de 1, y augmente de 1,5      a = 1,5
b se lit en prenant l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine est   2  .      b =   2  
La droite a pour équation y = 1,5x + 2.

A l’aide d’un grapheur on trace la courbe représentative de la fonction f : ⅹ --> ⅹ².
On a placé le point de coordonnées (1 ; 1), puis on a réalisé plusieurs zooms successifs au voisinage de ce point.

Que semble devenir, dans ces zooms successifs, l’allure de la courbe au voisinage du point de coordonnées (1 ; 1) ?
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

La courbe au voisinage de (1 ; 1) semble devenir une parabole une droiteune hyperbole.

On place un point A sur cette courbe, puis un point B, ces deux points sont mobiles sur la courbe. On trace la droite (AB) en rouge, on met en évidence la pente de la droite qui correspond au coefficient directeur de celle-ci.
On positionne le point A sur la courbe de sorte que ses coordonnées deviennent (1 ; 1). On se propose ensuite de faire glisser le plus prés possible de A le point B qui nous donnera une tangente à la courbe. On se propose de lire la valeur de la pente. Afin d’obtenir une plus grande précision, il est possible de zoomer sur cette courbe.


En zoomant de plus en plus sur le point A et en approchant le plus possible le point B du point A, vers quelle valeur tend le coefficient de la pente ? Il tend vers   2  .

☺La droite obtenue lorsque B se situe le plus prés possible de A s’appelle la tangente à la courbe au point A(1 ; 1). Son coefficient directeur s’appelle le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse 1. On le note f’(1). Dans ce cas f'(1) = 2.
On approche une courbe en un point A(ⅹ_A ; y_A) par une fonction affine. Le coefficient directeur de la droite est le nombre dérivé au point d’abscisse ⅹ_A. On le note f’(ⅹ_A).

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer graphiquement le nombre dérivé et l’équation de la tangente : ( 8 min 06 )

Sur cette même courbe, on place les points M₁, M₂, M₃ et M₄ d’abscisses respectives –2, -1, 1, et 2. On trace les tangentes T₁, T₂, T₃ et T₄ à la courbe passant par ces points.

Répondre aux questions:
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Quelles est la tangente en O(0 ; 0) à C ?

La tangente est y = .

b) Déterminer graphiquement les coefficients directeurs des droites T₁, T₂, T₃ et T₄. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous avec ces résultats.

x	-2	-1	0	1	2
f'(x)

c) A partir de l’observation du tableau précédent, proposer une valeur pour f’(3).

f’(3) =

d) Donner une expression de f’(x).

f’(x) =

☺ La fonction dérivée (ou dérivée) de f est la fonction, qui, à tout nombre x associe le nombre dérivé f’(x) ; on la note f’.

☺ Si f(x) = ax + b alors f’(x) =   a  . (Ce qui est logique puisque le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la fonction qui est ici la droite elle-même.)

Exemple : f(x) = -3x + 3          f’(x) = -3

Ce qui signifie que la dérivée d’une fonction constante est nulle, si f(x) = k alors f’(x) =   0  .

Exemple : f(x) = 5          f’(x) =   0  

☺ Si f(x) = x² alors f’(x) = 2x .

☺ Si f(x) = u(x) + v(x) alors f’(x) = u'(x) + v'(x) .

Exemple : f(x) = x² - 3x + 3 On peut décomposer ce polynôme en la somme de deux fonctions que l’on pourra dériver individuellement f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = x² et v(x) = -3x + 3.

u’(x) = 2x v’(x) = -3 alors f’(x) = u’(x) + v’(x) = 2x – 3.

☺ Si f(x) = k.u(x) alors f’(x) = k.u'(x) .

Exemple : f(x) = 7x² On peut écrire f(x) = k.u(x) avec k = 7 et u(x) = x².

Puisque f’(x) = k.u’(x) alors f’(x) = 7(2x) = 14x.

Exemple : f(x) = 3x² – 4x + 7           f’(x) = 2(3x) – 4 = 6x - 4.

Formules de dérivation :

	f(x)	f'(x)
Fonction constante	a	0
Fonction affine	ax + b	a
Fonction carrée	x2	2x
Fonction polynôme de degré 2	ax2 + bx + c	2ax + b
Somme de deux fonctions dérivables	u(x) + v(x)	u'(x) + v'(x)
Produit d’une fonction dérivable par une constante	k.u(x) (k ∈ ℝ)	k.u'(x)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Dériver une fonction du second degré : ( 4 min 47 )

☺ Si pour tout nombre x d’un intervalle I, on a f’(x) > 0, alors f est croissante sur I.
Si pour tout nombre x d’un intervalle I, on a f’(x) < 0, alors f est décroissante sur I.

☺ Si pour la valeur x₀ d’un intervalle I, la dérivée f’ s’annule et change de signe, alors la fonction f admet en x₀ un extremum (minimum ou maximum).

x       x0       f'(x)    - 0 +    f(x)    f(x0) La fonction admet en x0 un minimum.

x       x0       f'(x)    + 0 -    f(x)    f(x0) La fonction admet en x0 un maximum.

Soit la fonction f(x) = x³ définie sur [-6 ; 6].

Compléter le tableau de valeurs de f(x).
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x	-6	-4	-2	-1	0	1	2	4	6
f(x)

Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) après avoir reporter les points.        Pour placer les points, cliquer sur le point et sans lâcher le clic, le déplacer. Pour faire apparaitre la courbe, modifiez le coefficient a en bas du graphique. Pour corriger le graphique cliquer sur correction en dessous de celui-ci...

x
f'(x)
f(x)

☺ Une fonction polynôme de degré 3 est définie pour tout réel x par :
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
a, b, c et d sont des nombres réels.

Déterminer l’expression de la fonction dérivée de cette fonction polynôme de degré 3.

Méthode :
- On décompose cette fonction en autant de fonction que l’on a de terme en x.
f(x) = ax³ / + bx² / + cx + d
- On dérive chaque terme obtenue. La dérivée de ax³ est 3ax².
La dérivée de bx² est 2bx.
La dérivée de cx + d est   c  .
- On recompose la fonction dérivée avec les dérivées obtenues.
f’(x) = 3ax² + 2bx + c.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Dérivée une fonction de degré 3 : ( 2 min 59 )

Exercice : Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies pour tout réel. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule. Toutes les cases ne seront pas obligatoirement utilisées. On remplira celles nécessaires à partir de la gauche.                     Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

f(x) = -5x³ + 0,5x² - 12x + 3        f'(x) =      

f(x) = 250x³ - 45x        f'(x) =      

f(x) =

x3 ━━━

2

+ 18x²       f'(x) =      

f(x) = 0,01x³ + 0,15x² - 0,4x + 0,6        f'(x) =      

f(x) = -12x³ - 2,5x² + 3x - 10        f'(x) =      

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-4 ; 2] par f(x) = x³ + 3x² – 9x + 1.

Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule. Toutes les cases ne seront pas obligatoirement utilisées. On remplira celles nécessaires à partir de la gauche.                     Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Déterminer la fonction f’ dérivée de f.

f'(x) =      

b) Déterminer avec la calculatrice les racines de l’équation f’(x) = 0.

f'(x) = 0       S = { ; }

c) Déterminer le signe de la fonction dérivée f’. On dispose les symboles par glisser, déposer...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

x
Signe de    f'(x)

d) Compléter le tableau de variation de la fonction f. On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

x
Signe de    f'(x)
f(x)

e) A l’aide de la calculatrice, afficher les deux courbes en utilisant les paramètres suivant :

Fenêtre:
x_min = -4   x_max = 2   pas = 1
y_min = -15   y_max = 30   pas = 1

Utilisation de la Casio	Utilisation de la TI	Utilisation de la NumWorks

On observe que lorsque la fonction dérivée f’(x) est positive, la fonction f(x) est croissante. Lorsqu’elle est négative, la fonction f(x) est décroissante.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer les variations d’une fonction de degré 3: ( 12 min 54 )

Une fonction polynôme de degré 3, définie sur un intervalle I peut:
- Etre strictement croissante sur I.
- Etre strictement décroissante sur I.
- Changer plusieurs fois de variation sur I.

Etre strictement croissante sur I	Etre strictement décroissante sur I	Changer plusieurs fois de variation sur I

Lorsqu’une fonction polynôme de degré 3 change plusieurs fois de variation sur un intervalle I, elle admet un maximum et un minimum local.

a) Etablir le tableau de signe des fonctions définies sur [-5 ; 5] par : f(x) = 3x² – 4,5x – 13,5 On dispose les symboles par glisser, déposer...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

x
Signe de    f(x)

b) Etablir le tableau de signe des fonctions définies sur [-5 ; 5] par : g(x) = -3(x – 2)(x + 1) On dispose les symboles par glisser, déposer...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

x
Signe de    g(x)

c) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-1 ; 3] par f(x) = x³ - 4,5x² + 6x. Calculer la dérivée et compléter le tableau de variation de la fonction f(x). On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule. On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides...
                     Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

a) Calcul de la dérivée f'(x).       f'(x) =      

b) En utilisant la calculatrice, compléter le tableau de variation de la fonction f(x).

x
Signe de    f'(x)
f(x)

Une étude a été menée par une entreprise de logistique afin de connaître le nombre de camions qui entrent dans l’entrepôt à une heure donnée de la journée. Cette étude a conduit à modéliser le nombre N de camions entrant dans l’entrepôt à l’heure t par la relation : N = 0,1t³ – 3,6t² + 40,5t – 121. L’entreprise réceptionne les camions entre 5 h et 17 h.

a) 1ère partie : Fonction et inéquation : Répondre aux questions. On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat, x est obligatoirement écrit en minuscule. On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides...
                     Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...

On considère la fonction f(x) correspondant au polynôme précédent. f(x) = 0,1x³ – 3,6x² + 40,5x – 121.

Déterminer le domaine d’étude de la fonction. D_f = [ ; ].

Calculer f’(x) où f’(x) désigne la fonction dérivée de f.

f'(x) =      

Compléter le tableau de variation de f(x)

x
Signe de    f'(x)
f(x)

b) 2ème partie : Exploitation des résultats : Répondre aux questions. Toutes les cases doivent contenir une valeur.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

- Indiquer à quelle heure le nombre de camions entrant dans l’entrepôt est le plus grand. Quel est le nombre de camions le plus grand entrant dans l’entrepôt ?

Le plus grand nombre de camions qui entrent dans l'entrepôt est . Ils entrent à h min.

- L’entrepôt ne peut recevoir que 21 camions devant les quais. Préciser l’intervalle de temps durant lequel des camions devront rester en attente devant l’entrepôt (arrondir à la demi-heure). Pour répondre à cette question, il faut tracer une droite. Quelle est son équation ?

Il faut tracer la droite d’équation y = .

Les camions devront rester en attente devant l’entrepôt de h min à h min. (On utilise la fonction trace de la calculatrice, Geogebra est plus précis...).

- Deux portes de l’entrepôt sont tombées en panne, les quais pouvant recevoir deux camions sont donc inutilisables. Préciser l’intervalle de temps durant lequel des camions devant rester en attente devant l’entrepôt (arrondir à la demi-heure).

Le nombre maximum de camions pouvant entrer dans l’entrepôt est . On effectue la même démarche que précédemment.

Les camions devront rester en attente devant l’entrepôt entre h min. et h min.