Puissance et écriture scientifique.

Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

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I) Définition.
II) Propriétés.
III) Puissances de 10, écriture scientifique d'un nombre.
1) Puissances positives de 10.
2) Puissances négatives de 10.
3) Écriture sous forme d'une puissance de 10.
4) Écriture scientifique d'un nombre.
5) Comment écrire un nombre utilisant des puissances de 10 à la calculatrice ?

I) Définition.

Si a est un nombre réel non nul et n un entier positif :

Si n > 1    an = a x a x a x a … … … x a (n fois)
Si n = 1    a1 = a
Si n = 0    a0 = 1
    a-n =  1 
━━━
an


Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Utiliser la notation des puissances : ( 6 min 46 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Calculer les puissances avec les nombres relatifs : ( 5 min 35 )

Exercice : A l’aide de la calculatrice, calculez:

(Attention, ne pas confondre le signe – et l’opération -)
☺ Sur la calculatrice, le signe – est entre parenthèses (-), alors que l’opération moins correspond à –. Sur la casio casio.JPG et sur la Ti Ti.JPG.
☺ 7 – 5 Dans ce cas il s’git d’une opération donc il faut prendre le – de la calculatrice.
☺ -5 Dans ce cas il ne s’agit pas d’une opération puisqu’il n’y a pas de chiffres devant, on prendra (-).

Exercice : A l’aide de la calculatrice, calculez:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

 12,53 =           (-27,3)4 =           0,54 =      
 -0,24 =           (-12,3)3 =           -(-12,5)2 =      
 -0,143 =           (-0,14)3 =           -(-0,5)3 =      


II) Propriétés.

① an x ap = an+p        Exemple: 43 x 42 = 45         En effet 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 45

② (an)p = anp        Exemple: (24)2 = 28         En effet (24)2 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2)

③ (a x b)n = an x bn        Exemple: (3 x 7)3 = 33 x 73         En effet (3 x 7)3 = 3 x 7 x 3 x 7 x 3 x 7 = 33 x 73

④
 an 
━━━		     = an-p
ap
        Exemple:
 35 
━━━		     = 33
32
        En effet
 35 
━━━		     =  3 x 3 x 3 x 3 x 3 
━━━━━━━━━━━━		     = 33
32 3 x 3


⑤
    ( a
━		 )n  =  
b
 an 
━━━
bn


Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Appliquer les formules sur les puissances : ( 6 min 24 )

Exercice : Donnez une écriture simplifiée en complétant les cases vides, puis à l’aide de la calculatrice calculez : Pour vous aider, la case contenant la puissance est verte. Le résultat sera donné sous forme décimale si nécessaire.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

 23 x 25 = 2 =          32 x 33 = 3 =          4 x 44 = 4 =     
 (-2)3(-2)3(-2) = (-2) =          (-3)3(-3)(-3)2 = (-3) =          (-5)2(-5)(-5) = (-5) =     
 
 35 
━━━
32
= 3 = 		         
 (-5)4 
━━━
(-5)3
= (-5) = 		         
 211 
━━━
213
= 2 = 		    


Deux cas difficiles : Calculez uniquement à l’aide de la calculatrice.
☺Attention il est judicieux de rajouter des parenthèses lorsque l’on a plusieurs termes au numérateur et au dénominateur.

Exercice : Calculez uniquement à l’aide de la calculatrice. (Ne pas arrondir.)               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

 
 38 x (-2)7 x (-3)4 
━━━━━━━━━━━━━━━
(-2)13 x (4)3
= 		         
 34 x 23 x 5 
━━━━━━━━━━━━━━━
52 x 8
= 		    


Exercice : Simplifier les écritures suivantes en complétant les cases vides : Pour vous aider, la case contenant la puissance est verte.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

   a5.a7.a-3 = a          a3.a-1.a0 = a          (a3)-2.a5 = a   
   4a2.b2 x a7.b7 = a b          3a2.b(-5a3.b-2.c3) = a b c          (a3)-2.a-5 = a   


Exercice : Simplifier les écritures suivantes en complétant les cases vides : Pour vous aider, la case contenant la puissance est verte.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

   
 3 
━━━
5
x.y2 .
 10 
━━━
3
x2.y = x y   		       (-xy2z)5 = (-x) y z          (-2ab2c3)2(-5a3bc) = a b c   
   
 12a5b3 
━━━━━━		     = a b
6a2b5
      
 (a7b)3 
━━━━━━━━━━━━		     = a b
(ab)2(a2b3)5
      
 4a2(b3c)4 . (-2a3) 
━━━━━━━━━━━━		     = a b c
2a3bc2 . a4b-3


III) Puissances de 10, écriture scientifique d’un nombre:

1) Puissances positives de 10:

Calculer:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

100 =
101 =
102 =
105 =
1010 =

☺ 10n s’écrit en ajoutant n zéro après le « 1 » .

2) Puissances négatives de 10:

Calculer:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

10-1 =
10-2 =
10-3 =
10-5 =
10-10 =

☺ 10-n s’écrit en ajoutant n zéro avant le « 1 » et en mettant une virgule entre le premier et le deuxième zéro.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Ecrire un nombre avec des puissances de 10 : ( 5 min 57 )

3) Écriture sous forme d'une puissance de 10:

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Ecrire sous forme décimale un nombre écrit avec des puissances de 10 : ( 6 min 16 )

30 000 = 3 x 10 000 = 3 x 104
= 30 x 1 000 = 30 x 103

0,000 4 = 4 x 0,000 1 = 4 x 10-4
= 0,4 x 0,001 = 0,4 x 10-3

☺ On peut écrire tous les nombres à l’aide d’une puissance de 10.
☺ Pour écrire un nombre sous la forme d’une puissance de 10, on regarde de combien de rangs s’est déplacée la virgule. Puis on augmente ou on diminue la puissance de 10 (ici 0) d’autant. On diminuera la puissance si le nouveau nombre est plus grand, on l’augmentera dans l’autre cas.

Ex1: 0,000 4 = 4 x 10-4. On a décalé la virgule de 4 rangs après le 4.
4 étant plus grand que 0,000 4, au diminue la puissance de 10 qui est 0 de 4. 0 - 4 = -4.

Ex2: 4,7 = 0,004 7 x 103. On a décalé la virgule de 3 rangs.
0,004 7 étant plus petit que 4,7 on augmente la puissance de 10 qui était 0 de 3. 0 + 3 = 3

Exercice: Transformer les écritures suivantes en donnant les exposants : Pour vous aider, la case contenant la puissance est verte.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

 3,256.103 = 325,6.10      45,123.105 = 4,5123.10      0,0123.104 = 1,23.10 
 7896.10-3 = 78,96.10      6,73.105 = 673.10      0,639.10-3 = 63,9.10 


4) Écriture scientifique d’un nombre :

☺ L’écriture scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10.

Ex1: 4 900 = 4,9 x 103

Ex2: 0,000 025 3 = 2,53 x 10-5

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Ecrire un nombre sous la forme scientifique : ( 13 min 30 )

Exercice: Écrire sous forme scientifique. Pour vous aider, la case contenant la puissance est verte.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

 1 740 = .10      2 630 000 = .10 
 0,023 = .10      0,009 85 = .10 
 7 896.10-3 = .10      0,639.10-3 = .10 
 45,123.105 = .10      0,0123.104 = .10 


5) Comment écrire un nombre utilisant des puissances de 10 à la calculatrice ?

On souhaite écrire 3,5.10-4 avec une calculatrice Casio ou TI.

Avec la casio casio1.jpg
  
Casio3.JPG   Casiovirgule.JPG   Casio5.JPG   Casiopuissance.JPG   Casiomoins.JPG   Casio4.JPG

   Ce qui donne à l’affichage : Casiofinal.JPG Certaine calculatrices Casio écriront le résultat sous la forme suivante : Casiofinal2.JPGg

(Attention, on n'utilise jamais la touche « multiplier » dans ce cas avec les Casios.)

Avec la TI TI1.jpg
  
TI3.JPG   TIvirgule.JPG   TI5.JPG   TI2nd.JPG   TIEE.JPG   TImoins.JPG   TI4.JPG

   Ce qui donne à l’affichage : Casiofinal.JPG

(On remarque que la puissance de 10 est la touche EE.)