Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Comparer des décimaux.

Les nombres décimaux sont composés d’une partie entière et d’une partie décimale. Lorsque l’on additionne la partie entière et la partie décimale d’un nombre, on retrouve le nombre décimal.
Soit le nombre décimal 12,36. Sa partie entière est 12, sa partie décimale est 0,36. En effet partie entière + partie décimale = nombre décimal. 12 + 0,36 = 12,36.

Pour comparer des décimaux, il faut dans un premier temps reconnaitre le rang des chiffres qui composent ce nombre.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Reconnaitre le rang des chiffres: ( 5 min 38 )

Exercice : Donner le nom des rangs occupés par les chiffres formant le nombre 8 462 710,539.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

0 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
1 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
2 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
3 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
4 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
5 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
6 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
7 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
8 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.
9 occupe le rang des centaines centaines de millecentièmesdizaines dizaines de milledixièmesmillièmes unitésunités de milleunités de million.

Pour comparer des nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières.
Si elles sont égales, on compare les dixièmes. S’ils sont égaux, on compare les centièmes. S’ils sont égaux, on compare les millièmes etc…

Exemple : Comparer 215,178 et 215,174.

On compare les parties entières, elles sont égales à 215.
On compare les dixièmes, ils sont égaux à   1  .
On compare les centièmes, ils sont égaux à   7  .
On compare les millièmes 8   >   4 alors 215,178   >   215,174.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Comparer des nombres décimaux: ( 5 min 15 )

Exercice : Compare les nombres décimaux suivants et indique quel rang est choisi pour la comparaison. (Les fautes de syntaxe sont volontaires pour ne pas orienter la solution.)               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) 17,75 et 18,225
17,75 > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) 18,225 car > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 17,75 est > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) à > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 18,225.

b) 4,66 et 4,686
4,66 > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) 4,686 car > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 4,66 est > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) à > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 4,686.

c) 7,215 et 7,54
7,215 > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) 7,54 car > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 7,215 est > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) à > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 7,54.

d) 18,5 et 18,39
18,5 > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) 18,39 car > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 18,5 est > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) à > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 18,39.

e) 114,365 et 114,36
114,365 > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) 114,36 car > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 114,365 est > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) à > <la partie entièrele dixième le centièmele millièmesupérieur(e) inférieur(e) de 114,36.

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Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Addition et soustraction de nombres relatifs: ( 9 min 03 )

On peut additionner des nombres relatifs positifs et négatifs. On ne parle pas de soustraction. (Attention : un nombre sans signe est positif, 17 est positif et -17 est négatif.)

- Si on veut additionner deux nombres de même signe, on additionne les nombres et on garde le signe commun.
18 + 2 = 20
(-18) + (-2) = -20

- Si on veut additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait celui qui a la plus petite valeur absolue de celui qui a la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. (On appelle valeur absolue d’un nombre, le nombre sans son signe.)
18 + (-23) = -5 (On a fait 23 - 18 = 5 et on a affecté le signe de -23, ce qui fait -5)
-18 + 23 = 5 (On a fait le même calcul 23 – 18 = 5 et on a affecté le signe de 23, ce qui fait 5)

Exercice : Sans utiliser de calculatrice additionner les nombres suivants :               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

-15 + 3 =	17 + 5 =	-10 – 8 =	13 – 26 =
-7 + 7 =	2 - 9 =	-5 - 5 =	13 + 7 =

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On peut additionner les nombres deux par deux, mais il est souvent plus intéressant de regrouper les nombres positifs et les nombres négatifs afin de finir par l’addition de deux nombres.
-7 + 3 + 6 – 4 – 2 + 8 = 3 + 6 + 8 – 7 – 4 – 2 = 17 – 13 = 4 (Il n’est pas utile de les réécrire, on effectue directement les additions -7 + 3 + 6 – 4 – 2 + 8 = 17 – 13 = 4)

Exercice : Sans utiliser de calculatrice additionner les nombres suivants : On additionnera d'abord les nombres positifs puis les nombres négatifs.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

-9 + 3 – 2 – 1 + 2 + 1 = – =

9 – 16 – 8 + 22 – 3 = – =

-14 + 8 – 7 – 3 + 6 + 5 = – =

15 + 3 – 7 – 8 – 9 + 6 = – =

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Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé puis on applique les règles de l’addition. 12 – (-3) = 12 + 3 = 15.
Il est plus simple lorsque deux signes se suivent d’appliquer la règle des signes suivante :
Deux signes identiques qui se suivent donnent + et deux signes différents qui se suivent donnent -. Ce qui permet d'enlever les parenthèses, en effet
12 – (-3), on dispose de deux signes identiques qui se suivent, on écrit 12   +   3.
12 – (+3), on dispose de deux signes différents qui se suivent, on écrit 12   –   3.

Exercice : Sans utiliser de calculatrice, soustraire les nombres suivants après avoir supprimé les parenthèses :Après avoir supprimé les parenthèses et mis l'opérateur dans les cases vertes, on additionnera d'abord les nombres positifs puis les nombres négatifs.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(+17) – (-3) – (+2) – (-5) =          = – = .

(-22) – (+11) – (-5) – (-4) =          = – = .

(+14) – (+3) – (+5) – (-7) =          = – = .

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Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Effectuer des calculs avec des nombres relatifs: ( 7 min 34 )

Pour multiplier des nombres relatifs, on multiplie les nombres en appliquant la règle des signes. Deux signes identiques qui se suivent donnent + et deux signes différents qui se suivent donnent -.
(-3) x (-5) = 15
(-3) x (+5) = -15

Lorsque dans une multiplication de nombres relatifs, on a plus de deux nombres. On peut compter le nombre de signes moins.
Si le nombre de signes moins est pair, le résultat sera positif, s’il est impair, le résultat sera négatif.
(-3) x (-5) x (-2), c’est un produit de trois nombres négatif, trois étant impair, le résultat sera négatif. En effet, (-) x (-) = (+) et (+) x (-) = (-).

Exercice : Sans utiliser de calculatrice, multiplier les nombres suivants :               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(-5) x (-2) x (+4) x (-1) =

(+2) x (-2) x (+2) x (-2) x (+2) x (-2) =

(-7) x (-3) x (-1) x (-2) x (+2) =

(-2) x (-3) x (+1) x (-4) x (+2) =

Nota : Pour diviser deux nombres relatifs, on applique la même règle que précédemment.

Exercice : Sans utiliser de calculatrice, faire les calculs avec les nombres suivants : (Faire dans un premier temps les opérations prioritaires intermédiaires, puis donner le résultat)               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

(-5) + (+2) x (-4) = () + () =

(-10) + (+24) : (-6) = () + () =

(-30) : (-10) + (+4) x (-3) = () + () =

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Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres dont on ne connait pas la valeur.
Développer une expression littérale, c’est la transformer en somme de facteurs algébriques. La réduire c’est regrouper les termes de même espèce. Lorsque les lettres ont des exposants, on les classe par exposant décroissant. Il faudra faire attention aux signes moins en faisant les opérations entre parenthèses en premier.

Exemples :

2(4c – 9) = 8c – 18
(3 + a)(-a – 4) = -3a -12 – a² – 4a = -a² – 7a – 12
2 – (4 + a)(a – 2) = 2 – (4a – 8 + a² – 2a) = 2 – (a² + 2a – 8) = 2 – a² – 2a + 8 = -a² – 2a + 10

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Développer une expression Niv 1: ( 6 min 51 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Développer une expression Niv 2: ( 6 min 44 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Réduire une expression: ( 6 min 19 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Développer et réduire une expression: ( 6 min 47 )

Exercice : Développer et réduire les expressions littérales. On ne donnera que le résultat. (On mettra les opérateurs dans les cases vertes.)               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

3(-$x$ + 2) = $x$  

(7$x$ – 6)4 = $x$  

-(8$x$ + 3) – 4$x$ = $x$  

3($x$ – 2) – 2(1 – $x$) = $x$  

(1 – $x$)(3$x$ – 4) = $x$²  $x$  

2(3 – $x$²) + 4($x$ – 1)(5 – 2$x$) = $x$²  $x$  

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Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000, c’est décaler la virgule de 1, 2 ou 3 rangs. Si on ne peut plus décaler la virgule, le nombre étant devenu entier, on ajoute des zéros.
3,83 x 10 = 38,3 (On décale la virgule de 1 rang)
0,4 x 100 = 40 (Il faut décaler la virgule de deux rangs, on ne peut la décaler que de un rang, on ajoute un zéro)
732,3 x 1 000 = 732 300 (On décale la virgule de un rang et on ajoute deux zéros)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Multiplier par 10, 100, 1 000: ( 5 min 43 )

Pour diviser par 10, 100, 1 000, on décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs de sorte d’obtenir un nombre plus petit. Il faut décaler la virgule vers la gauche. Si on ne peut plus décaler la virgule, on ajoute également des zéros.
0,5 : 1 000 = 0,000 5

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Diviser par 10, 100, 1 000: ( 6 min 01 )

Pour multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; cela revient à multiplier un nombre par un nombre plus petit que un et donc à diviser. Pour multiplier par 0,1 ; cela revient à diviser par 10. Pour multiplier par 0,01 ; cela revient à diviser par 100 etc…
6,3 x 0,01 = 0,063

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Multiplier par 0,1; 0,01; 0,001: ( 5 min 29 )

Pour diviser un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; cela revient à diviser un nombre par un nombre plus petit que un et donc à multiplier. Pour diviser par 0,1 ; cela revient à multiplier par 10. Pour diviser par 0,01 ; cela revient à multiplier par 100 etc…
45 : 0,01 = 45 x 100 = 4 500

Exercice : Faire les calculs sans utiliser la calculatrice.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

32,7 x 1 000 =

4,4 : 100 =

0,0125 x 100 =

0,05 : 0,001 =

0,12 x 0,1 =

3 250 x 100 =

4 732 : 1000 =

125 : 0,01 =

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