Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Programme de calculs.
II) Définition d'une fonction.
III) Tableau de valeurs.
IV) Représentation graphique d’une fonction :
1) Repère du plan :
2) Coordonnées d’un point :
3) Courbe représentative d’une fonction :
V) Tableau de variation d’une fonction :
1) Variation d’une fonction :
2) Tableau de variation :
VI) Utilisation de la calculatrice pour compléter un tableau de valeurs :
1) Comment effacer l’expression d’une fonction ?
2) Comment compléter un tableau de valeurs ?
VII) Etude de la fonction h(x) = 3x + 3 sur [-5 ; 5].
VIII) Exercices :
IX) La fonction carré :

Tom est un petit producteur de pommes amateur dans les Hauts de France. Il vient d’en cueillir 60 kg et décide de les vendre au marché voisin. Il estime qu’il peut vendre ses pommes 1,70 € le kg. Afin de gagner du temps, il souhaite réaliser un graphique où il pourra lire directement le prix de ses pommes. Pour réaliser son graphique, il se pose un certain nombre de questions. Vous l’aiderez à répondre aux questions en écrivant les opérations effectuées.

Combien vais-je gagné si je vends 1 kg de pommes ? 1,70 x 1 = 1,70 €
Combien vais-je gagné si je vends 2 kg de pommes ? 1,70 x 2 = 3,40 €
Combien vais-je gagné si je vends 5 kg de pommes ? 1,70 x 5 = 8,50 €

Ne sachant pas s’il va vendre 1, 2, 3… kg de pommes. Il souhaite mettre en place un programme de calculs.
Combien vais-je gagné si je vends x kg de pommes ? 1,70x

Le prix est donc fonction du nombre de kg de pommes vendus. Si x est le nombre de kg vendus, on pourra dire qu’il va gagner 1,70x €. Puisque le prix est fonction du nombre x de kg de pommes, on pourra écrire : f(x) = 1,70x.

Vous venez de définir une fonction mathématique qui a toute valeur de x fait correspondre une valeur f(x) grâce à un programme de calculs.
Tom pourra grâce à son programme de calculs estimé tous les prix s’il vend entre 0 et 60 kg de pommes. L’intervalle entre 0 et 60 lui donnera toutes les possibilités de calculs. Il lui sera inutile de faire des calculs au-delà de 60 kg puisqu’il ne pourra pas en vendre plus.

☺ Toute fonction est définie sur un intervalle. Cet intervalle est appelé intervalle de définition ou domaine de définition. Un domaine de définition peut être un ensemble de nombre, par exemple l’ensemble de tous les nombres que l’on appelle ℝ.
☺ Une fonction symbolisée par une lettre (souvent f comme fonction) est un programme de calculs qui permet de faire correspondre à un nombre  x  un autre nombre unique appelé f(x).
☺ On appelle image de x par la fonction f, le nombre f(x).
☺ On appelle antécédent de f(x) par la fonction f le nombre de départ  x .

Avant de créer son graphique, Tom va pouvoir faire un certain nombre de calculs, par exemple il souhaite calculer les prix par tranches de 5 kg. Il recueille toutes les valeurs dans un tableau.

Compléter le tableau de valeurs suivant:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x	0
f(x)

☺ Un tableau de valeurs d’une fonction f est un tableau présentant les images f(x) pour un certain nombre de valeurs de   x  . La distance qui sépare régulièrement deux valeurs de x dans un tableau est appelé le pas.
Le pas dans le tableau précédent est   5  .

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Compléter un tableau de valeurs : ( 6 min 46 )

☺ On appelle courbe représentative d’une fonction f, la courbe formée par l’ensemble des points ( x ; f(x) ).
☺ Dans un graphique on utilisera plutôt (x ; y ) pour représenter un point, ce qui signifie que y = f(x). On appelle équation de la courbe représentative de f l’égalité y = f(x).

☺ Un repère dans un plan est formé de deux axes qui par commodité sont souvent perpendiculaires. On distingue le repère orthonormé et le repère orthogonal. L’axe horizontal de ces repères est appelé axe des abscisses (a comme allongé). L’axe vertical est appelé axe des ordonnées (o comme haut). On reporte la variable x sur l’axe des abscisses et son image y sur l’axe des ordonnées. De ce fait l’axe des abscisses est aussi appelé l’axe des x et l’axe des ordonnées est appelé l’axe des y.

Dans un repère orthonormé, un cm en abscisse n’a pas la même valeur qu’un cm en ordonnée.
Dans un repère orthonormé, un cm en abscisse a la même valeur qu’un cm en ordonnée.
Dans un repère orthogonal, un cm en abscisse n’a pas la même valeur qu’un cm en ordonnée.
Dans un repère orthogonal, un cm en abscisse a la même valeur qu’un cm en ordonnée.

☺ Un point est caractérisé par ses coordonnées ( x ; f(x) ) que l’on écrira plutôt (x ; y). La première valeur se positionne sur l’axe horizontal, on l’appelle l’abscisse. La seconde valeur se positionne sur l’axe vertical, on l’appelle l’ordonnée. On écrira souvent une lettre pour désigner un point : A ( abscisse ; ordonnée )

Répondre aux questions.     Cocher les affirmations correctes.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Après avoir placés les points du tableau dans ce repère. A-t-on le droit de relier tous les points ?

oui.
non.

Pourquoi ?

On n'a pas toutes les valeurs.
On peut déterminer un prix au kg, pour 100 g, pour 10 g etc...

Relier tous les points, quelle est l'allure de la courbe?

C'est une droite qui passe par l'origine du repère..
C'est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère.

Quelle est la courbe correspondant à cette fonction?

Courbe 1. Courbe 2. Courbe 3. Courbe 4.

Quel est le prix de 17 kg de pommes ? Attention la précision n'est pas la même qu'avec la calculatrice, on pourra dans ce cas accepter plusieurs valeurs...

Le prix pour 17 kg de pommes est de €.

A quelle situation, vous fait penser cette courbe ?

A une situation graphique.
A une situation de proportionnalité.
A une situation d'argent.

☺ La fonction correspondante à cette situation est appelée fonction linéaire. L’équation correspondante est y = ax. C’est une situation de proportionnalité.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Lire graphiquement une image et un antécédent : ( 5 min 10 )

☺ Une fonction f est croissante sur un intervalle I si f(x) augmente quand x augmente.		☺ Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si f(x) diminue quand x augmente.

☺ Un tableau de variation exprime toutes les variations que peut subir une fonction. On appelle :

- Maximum de la fonction f, la plus grande valeur prise par f(x).
- Minimum de la fonction f, la plus petite valeur prise par f(x).

Pour établir un tableau de variation d’une fonction, on respecte les étapes suivantes :

a) On dessine un tableau sur le modèle suivant.

x
f(x)

b) On reporte l’intervalle de définition de x sur la première ligne.

x	0                           60
f(x)

c) On reporte dans cet intervalle les valeurs de x pour lesquelles les variations changent.
(Dans ce cas il n’y en a pas).

d) On reporte par des flèches les variations de f(x). Si f(x) est croissante ,, si f(x) est décroissante .

e) On écrit les valeurs aux bornes.

x	0                           60
f(x)	102  0

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Dresser un tableau de variation à partir d’un graphique : ( 7 min 51 )

Exercice : Représenter le tableau de variation de la fonction g(x) et répondre aux questions. On écrira dans les cases blanches et on effectuera un glissé déplacé des flèches dans les cases en pointillés.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes de variation faux...

.

x
g(x)

La fonction admet-elle un maximum ? Si oui quels sont les coordonnées de ce maximum ?

Les coordonnées du maximum sont: ( ; )

La fonction admet-elle un minimum ? Si oui quels sont les coordonnées de ce minimum ?

Les coordonnées du minimum sont: ( ; )

Voir Utilisation de la calculatrice Page 5: Effacer l'expression d'une fonction.

Voir Utilisation de la calculatrice Page 6: Comment compléter un tableau de valeurs.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Afficher un tableau de valeurs avec la T.I. : ( 4 min 10 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Afficher un tableau de valeurs avec la Casio : ( 2 min 52 )

x	-2	-1	0	1	2,5	5	7
f(x)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Notion de fonction : ( 24 min 13 )

1) Compléter le tableau de valeurs en prenant un pas de 1.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x
h(x)

Courbe 1. Courbe 2. Courbe 3. Courbe 4.

x
h(x)

4) Quelle est la nature de la courbe représentative de h(x) ? Cocher la bonne réponse.              

C'est une droite qui passe par l'origine du repère.

Ce n'est pas une droite.

C'est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère.

☺ La fonction h(x) = 3x + 3 est appelée fonction affine, l’équation de cette droite est du type y = ax + b. a est appelé le coefficient directeur de la droite, et b l’ordonnée à l’origine.
☺ La courbe représentative de ce type de fonction est une droite qui ne passe pas par l’origine du repère.

☺ Fonction linéaire	☺ Fonction affine
- y = ax. (a est le coefficient directeur de la droite, il est aussi le coefficient de proportionnalité.) - Droite qui passe par l’origine du repère. - Correspond à une situation de proportionnalité. - Si a > 0 la fonction est croissante. - Si a < 0, la fonction est décroissante.	- y = ax + b. (a est le coefficient directeur de la droite et b l’ordonnée à l’origine.) - Droite qui ne passe pas par l’origine du repère. - Ne correspond pas à une situation de proportionnalité. - Si a > 0 la fonction est croissante. - Si a < 0, la fonction est décroissante.

x
f(x)
g(x)

Tracer les courbes représentatives de f(x) et g(x) dans le repère ci-dessous.

Ce sont deux droites perpendiculaires.

Ce sont deux droites quelconques.

Ce sont deux droites parallèles.

☺ Deux droites qui ont un même coefficient directeur sont parallèles.

Exercice N°1 : Sans tracer la courbe de la fonction f(x) = 2x -7, dire si les points suivants sont sur la courbe représentative de cette fonction et pourquoi. Ecrire "oui" ou "non" et justifier par un calcul.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Vérifier si un point appartient à une droite: ( 6 min 3 )

A (0 ; -7) car lorsque x = , y = .

B (2 ; 5) car lorsque x = , y = .

C (-3 ; -13) car lorsque x = , y = .

.

x
f(x)

x
g(x)

Soit h la fonction définie sur [-5 ; 5] par h(x) = x². Compléter le tableau de valeurs de la fonction et tracer celle-ci dans le repère ci-dessous. Compléter le tableau de variation.                           Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci... Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes de variation faux...

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
h(x)

      

x
h(x)

☺ Cette fonction est appelée fonction carré sur l’intervalle [-5 ; 5]. Sa courbe représentative est une parabole.

Soit t la fonction définie sur [-5 ; 5] par t(x) = -x² + 25. Compléter le tableau de valeurs de la fonction et tracer celle-ci dans le repère ci-dessous. Compléter le tableau de variation.                           Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci... Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes de variation faux...

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
t(x)

      

x
t(x)

☺ Cette fonction appartient à la famille des fonctions du second degré. Sa courbe représentative est également une parabole. Toutes les fonctions de la forme
y = ax² + bx + c avec a ≠ 0 appartiennent à la famille des fonctions du second degré.
Lorsque a > 0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction admet un minimum. Lorsque a < 0, la parabole est tournée vers le bas, la fonction admet un maximum.

Compléter le texte ci-dessous.                           Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Donnez la valeur de l’extrémum de h(x) après avoir préciser sa nature. La courbe h(x) admet un maximum un minimum dont les coordonnées sont ( ; ).

Donnez la valeur de l’extrémum de t(x) après avoir préciser sa nature. La courbe t(x) admet un maximum un minimum dont les coordonnées sont ( ; ).