On réalise une expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois de suite une pièce de
monnaie. Combien de fois pensez-vous obtenir « FACE » ? Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On réalise une expérience aléatoire. On lance 10 fois de suite cette pièce de monnaie.
Êtes-vous certain d’obtenir au moins une fois « FACE » ? Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Elle peut être répétée dans des
conditions identiques et les résultats ne sont pas prévisibles.
On lance un dé à 6 faces, quelles sont les valeurs possibles que l’on peut obtenir ? Toutes les cases ne seront pas remplies,
on commence par les premières et on les complète dans l'ordre croissant. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On tire au hasard une boule dans une urne contenant 6 boules indiscernables au toucher,
sur lesquelles sont inscrites les voyelles. Quelles sont les valeurs possibles que l’on peut obtenir ?Toutes les cases ne seront pas remplies,
on commence par les premières et on les complète dans l'ordre alphabétique et en minuscules. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On lance un dé comportant 2 faces marquées 0, deux faces marquées 1, une face marquée 2 et une face marquée 3.
Quelles sont les valeurs possibles que l’on peut obtenir ?Toutes les cases ne seront pas remplies,
on commence par les premières et on les complète dans l'ordre croissant. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺On appelle issue ou éventualité le résultat possible d’une expérience aléatoire.
L’ensemble des issues ou éventualités est appelé Univers, que l’on note Ω (Oméga en grec) Exemple : Lorsque l’on jette un dé, l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à six faces, numérotées de 1 à 6, et à
regarder le numéro obtenu. Indiquer la lettre correspondante à ses issues.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺On appelle événement l’ensemble constitué d’un certain nombre d’issues
d’une expérience aléatoire.
On lance 50 fois une pièce de monnaie et on note les résultats. On obtient 30 fois « PILE » et 20 fois « FACE ».
La fréquence d’obtenir « PILE » est ici de
30 ━━━━━━
50
= 0,6 et la fréquence d’obtenir « FACE » est ici de
20 ━━━━━━
50
= 0,4.
☺On appelle échantillon de taille 50, le fait d’avoir lancer 50 fois la pièce de monnaie.
La fréquence d’obtenir « PILE » est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles.
II) Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons:
7 élèves A, B, C, D, E, F et G lancent chacun 50 fois une pièce de monnaie et notent les résultats.
Compléter le tableau. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Chacun des lanceurs n’a pas obtenu le même nombre d’événement « Obtenir FACE », les fréquences diffèrent donc. On
observe donc une fluctuation de la fréquence selon l’échantillon. ☺Fluctuer signifie varier, ne pas être stable. Fluctuation signifie donc variation.
III) Stabilisation de la fréquence lorsque la taille de l’échantillon augmente :
Les 7 élèves précédents cumulent ensuite successivement leurs résultats : A avec B, puis A et B avec C etc…
Compléter le tableau de valeurs suivant : Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Compléter les expressions suivantes: Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺La probabilité d’une issue est la valeur vers laquelle la fréquence se stabilise.
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Donner la probabilité de l’issue « FACE » lors d’un lancer d’une pièce de monnaie. On écrit : p(FACE) = 0,5
De la même manière quelle est la probabilité d’obtenir l’événement « PILE » ? p(PILE) = 0,5
Si on additionne p(PILE) + p(FACE) = 0,5 + 0,5 = 1
☺La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1 .
Lorsqu’on lance un dé à six faces, quelles sont les issues possibles ?
Les issues sont: 1 2 3 4 5 6
Si on lance ce dé un très grand nombre de fois , on dira qu’il y a une 1 chance sur 6 d’obtenir la face 3. Autrement
dit, la probabilité d’avoir l’événement A « Obtenir un 3 » est : p(A) =
1 ━━━━━━
6
.
Il y a autant de chances d’obtenir un 1 que d’obtenir un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6. C’est une situation
d’équiprobabilité.
☺On a une situation d’équiprobabilité quand les n événements élémentaires
d’une expérience aléatoire ont la même probabilité d’être réalisés. La probabilité de chaque événement
élémentaire est p =
Exercice : On utilise un jeu de 32 cartes. Quelles sont les probabilités d’obtenir les événements A, B,
C, D et E (Ecrire le résultat sous forme de fraction non simplifiée puis sous forme décimale sans arrondir.) Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
V) Comment utiliser un arbre pour calculer une probabilité ?
Une urne contient trois boules de couleurs différentes (jaune, verte, bleue). On tire au hasard une première boule,
on la remet dans l'urne après avoir noté sa couleur. On tire une seconde boule, on note sa couleur.
1) A l’aide d’un arbre déterminer toutes les issues de cette expérience aléatoire.
J
J
V
B
J
V
V
B
J
B
V
B
Il y a 9 issues pour cette expérience. Ω = { JJ, JV, JB, VJ, VV, VB, BJ, BV, BB }.
2) Déterminer les issues de l’événement « les deux boules sont de la même couleur » JJ, VV, BB .
3) Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ? P =
3 ━━━
9
=
1 ━━━
3
.
4) Quelle la probabilité de tirer deux boules bleues ? P =
1 ━━━
9
.
5) Quelle est la probabilité de tirer deux boules dont la première est verte ? P =
3 ━━━
9
=
1 ━━━
3
.
Un sac contient deux boules jaunes J1 et J2 et une boule rouge R. On tire successivement
deux boules en remettant la boule dans le sac avant de tirer la suivante.
1) Représenter l’Univers Ω de cette expérience aléatoire. On fera apparaitre
les issues dans l'ordre d'écriture J1, J2, R, comme cela a été fait précédemment: JJ, JV, JB... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
VI) Comment utiliser un tableau pour calculer une probabilité ?
En 2010 une agence de voyage a organisé 5000 voyages à la semaine ou pour le week-end dans deux pays étrangers:
l’Angleterre et l’Italie.
Seulement 25 % des voyages durent une semaine. 65 % des voyages ont pour destination l’Angleterre, et 80 % de ces
voyages durent 1 week-end. Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
a) Représenter la situation à l’aide d’un tableau.
Exercice : En France la répartition des groupes sanguins est la suivante : Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
VII) Utiliser l’ordinateur pour faire des probabilités :
Les tableurs Excel ou Calc peuvent donner au hasard des nombres compris entre 0 et 1 en prenant la fonction = ALEA().
Suivant les exercices proposés, il sera possible d’effectuer des tirages aléatoires.
Exemple : Avec le logiciel Calc : On souhaite simuler le jeu de roulette. Une boule peut donc tirer au hasard
un nombre compris entre 0 et 36, soient 37 possibilités. On va donc multiplier la fonction ALEA() par 37 et prendre
la partie entière du résultat ENT().
Il existe une autre fonction mathématique du tableur qui donne le même résultat, il s’agit de la formule
= ALEA.ENTRE.BORNES(0;36).
En appuyant sur les touches CTRL + MAJ + F9 du clavier, l’ordinateur recalcule automatiquement les formules du
tirage aléatoire.
On peut utiliser d’autre formules telles que :
qui permet d’obtenir le nombre de tirage.
qui permet de calculer le nombre de tirages correspondant à 6.
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à six faces, numérotées de 1 à 6, et à
regarder le numéro obtenu. Indiquer la lettre correspondante à ses issues.
