CH VII Inéquations .

Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

Pour pouvoir lire les mots de vocabulaire cachés (fond jaune), il suffit de passer la souris sur le mot.

I) Inéquation du 1er degré à une inconnue.
1) Activité.
2) Définition.
3) Ecriture de l'ensemble solution.
a) Ecriture sur un axe.
b) Ecriture sous la forme d'un intervalle.
4) Exercices.

I) Inéquation du 1er degré à une inconnue.

Conseil: Si tu penses savoir résoudre des inéquations, regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Tout le cours sur les inéquations : ( 20 min 50 )

1) Activité.

Un artisan décide de fabriquer des alarmes de voiture. Les frais fixes de fabrication s’élèvent à 3 500,00 € auxquels il faut ajouter 80,00 € par appareil fabriqué. Le prix de vente de l’alarme est 120,00 €. Combien d’alarmes devra-t-il fabriquer pour que le montant de ses ventes soit supérieur au coût de fabrication ?

Répondre au questions. On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Comme pour les équations, on s'interresse au nombre d'alarmes à fabriquer, et comme pour les équations, on suppose qu'il fabriquera x alarmes.

Le prix de revient est composé de deux parties, le prix de revient sera de . On commencera par écrire les termes en x.

Le prix de vente sera donc de

Le prix de vente doit être supérieur au prix de revient, on peut donc écrire que:

Prix de vente  > Prix de revient.

 >  .

On résoud une inéquation comme une équation, ici on mettra les x à gauches.

 > 

 > 

 >  .

 > 

Il faudra vendre au moins alarmes pour que cela soit rentable.

2) Définition.

Une inéquation du premier degré à une inconnue peut s’écrire sous l’une des formes suivantes : a ≥ b   a > b    a ≤ b   a < b où a et b sont des réels.
Pour résoudre une inéquation, on procède de la même façon que pour une équation de façon à obtenir une des 4 formes précédentes. La solution dépendra du signe de a. Si a est négatif, il conviendra d’inverser l’inégalité.

Si a est positif              Si a est négatif
            
ax > b   ⇔  
x >   b
━━━
a
             ax > b   ⇔  
x <   b
━━━
a
            
ax < b   ⇔  
x <   b
━━━
a
             ax < b   ⇔  
x >   b
━━━
a
            
ax ≥ b   ⇔  
x ≥   b
━━━
a
             ax ≥ b   ⇔  
x ≤   b
━━━
a
            
ax ≤ b   ⇔  
x ≤   b
━━━
a
             ax ≤ b   ⇔  
x ≥   b
━━━
a


Il en sera de même pour toutes les inégalités du type
 x
━━━		    > b
a
etc...

Exemples: Résoudre les inéquations suivantes. Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquation seront mis dans les cases vertes.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

2x < 5        -2x < 5
      
(Les résultats seront donnés en valeurs décimales.)        (Les résultats seront donnés en valeurs décimales.)

3) Écriture de l’ensemble solution :

Dans le cas d’une inéquation, la solution ne correspond plus à plusieurs valeurs, mais à une infinité de valeurs. Il s’agira donc d’un ensemble infini. En mathématiques, l’infini s’écrit avec le symbole   ∞  .

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une inéquation (1) : ( 7 min 44 )

a) Écriture sur un axe :

Il faut dans un premier temps définir une règle de notation, par exemple la symbolisation /////////////// signifie "n'est pas solution".

x > 5
- ∞         5         + ∞
//////// ] _________

x < 5
- ∞         5         + ∞
_________[ ///////

x ≥ 5
- ∞         5         + ∞
//////// [ _________

x ≤ 5
- ∞         5         + ∞
________ ] ////////

b) Écriture sous forme d'un intervalle:

Il est parfois plus simple de reprendre l'écriture sur un axe afin de pouvoir plus facilement proposer une écriture sous la forme d'un intervalle.

x > 5
- ∞         5         + ∞
//////// ] _________
     S = ]5 ; + ∞[

x < 5
- ∞         5         + ∞
_________[ ///////
     S = ]- ∞ ; 5 [

x ≥ 5
- ∞         5         + ∞
//////// [ _________
     S = [5 ; + ∞[

x ≤ 5
- ∞         5         + ∞
________ ] ////////
     S = ]- ∞ ; 5 ]

On peut remarquer qu'à l'infini, le crochet est toujours ouvert, on explique cela par le fait que l'on ne peut jamais atteindre cette valeur. Lorsque le crochet est tourné vers le nombre, la valeur est comprise et inversement.

 Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une inéquation (2) : ( 2 min 14 )

4) Exercices :

Exercice N°1,a: Donner l’écriture sur un axe (fond vert) ainsi que l’intervalle correspondant à l’ensemble des solutions (fond bleu) pour x < 3/2. (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...


S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°1,b: Donner l’écriture sur un axe (fond vert) ainsi que l’intervalle correspondant à l’ensemble des solutions (fond bleu) pour x ≤ -1/4. (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...


S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°1,c: Donner l’écriture sur un axe (fond vert) ainsi que l’intervalle correspondant à l’ensemble des solutions (fond bleu) pour x > -5/3. (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...


S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°1,d: Donner l’écriture sur un axe (fond vert) ainsi que l’intervalle correspondant à l’ensemble des solutions (fond bleu) pour x ≥ -2/7. (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...


S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°2,a: Donner l’ensemble des solutions (fond bleu).
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

moins_inf.png deuxneuf.png plus_inf.png
solution.png exclu_gauche.png pas_solution.png

S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°2,b: Donner l’ensemble des solutions (fond bleu).
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

moins_inf.png moins3huit.png plus_inf.png
pas_solution.png exclu_gauche.png solution.png

S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png


Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Noter les intervalles: ( 11 min 55 )

Exercice N°3,a: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

x + 1/4 < 0 (On gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)





S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3,b: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

3x + 3/4 > 0 (On gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)









S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3,c: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

2x + 1 > 1/2 (On gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)









S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3,d: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

4x < 1 (On gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)



S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3,e: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

4x + 1 > 0 (On gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)







S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3,f: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

1/4 > -x (On laissera les x à droite et on gardera l'écriture sous forme de fraction. ex: 1/4)



S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°3, question 2: Quelles sont les inéquations qui ont un même ensemble de solutions ? Il suffit de cocher les cases correspondantes aux inéquations...              

x + 1/4 < 0
3x + 3/4 > 0
2x + 1 > 1/2
4x < 1
4x + 1 > 0
1/4 > -x

Exercice N°4,a: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

 x
━━━		   - 1 >=    3x
━━━		   - 4.
2 2
Il faut mettre tous les termes sous le même dénominateur...

 x
━━━		   -    
━━━		       3x
━━━		  -  
━━━
2 2
On enlève ce dénominateur, car cela revient à tout multiplier par 2.

            

A l'étape suivante, on mettra les x à gauche.

            

    

        

    

S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°4,b: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

5x + 4 >= 2x - 2

A l'étape suivante, on mettra les x à gauche.

            

    

        

    

S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png

Exercice N°4,c: Résoudre et donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle (fond bleu). (Laisser les résultats sous forme de fractions)
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.
Il suffit de glisser les objets sur fond gris dans les cases en pointillé... ////// signifie n'est pas solution.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les réponses fausses...

-x + 2 <= 2x - 1

A l'étape suivante, on mettra les x à gauche.

            

    

        

    

S =
   ;   

moins_inf.png plus_inf.png exclu_droite.png exclu_gauche.png solution.png pas_solution.png troisdemi.png deuxneuf.png

moins1quart.png moins2sept.png moins3huit.png moins5tiers.png unquart.png un.png trois.png moinsdeux.png


Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation: ( 8 min 58 )

Exercice N°5: Deux agences de location de voitures proposent les tarifs journaliers suivants :
Agence A forfait 48 € et 0,70 € par km parcourus
Agence B forfait 50 € et 0,65 € par km parcourus
Pour quelle distance l’agence A est plus intéressante que l’agence B ?
Rappels: On écrit jamais le terme "multiplier" pour ne pas le confondre avec x, parfois on met un point, ici on écrit rien. Si je veux écrire 5 fois x, j'écris 5x. On utilisera / pour l'opérateur diviser. Les symboles d'inéquations seront mis dans les cases vertes et les opérateurs dans les cases rouges.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Indiquer le coût pour x km parcourus pour l'agence A (On donnera le résultat sous la forme ax + b).

pour l'agence A le coût sera de :    

Indiquer le coût pour x km parcourus pour l'agence B (On donnera le résultat sous la forme ax + b).

pour l'agence B le coût sera de :    

Ecrire à l'aide d'un symbole d'inégalité que l'agence A est plus interressante que l'agence B.

Agence A Agence B

Remplacer les agences par leur coût et résoudre l'inéquation.(On écrira chaque agence sous la forme ax + b)

            

A l'étape suivante, on mettra les x à gauche.

            

    

        

    

L'agence A est plus intéressante que l'agence B pour une distance  km.