Relier chaque solide à son nom : Attention, certaines définitions d'écran peuvent
dénaturer la forme de certaines figures et faire par exemple qu'une forme ronde devienne ovale... Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des figures fausses...
2) Activité:
Reporter chaque figure au dessus de son nom. Attention, certaines définitions d'écran peuvent
dénaturer la forme de certaines figures et faire par exemple qu'une forme ronde devienne ovale... Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des figures fausses...
II) Relations métriques dans un triangle rectangle :
1) Les propriétés de Pythagore :
a) Démonstration :
On considère 4 triangles rectangles disposés à l’intérieur d’un carré et on mesure les surfaces non colorées. On
rappelle que l’aire d’un carré de côté a est égale à a2.
Les aires des surfaces non colorées de ces deux schémas sont les mêmes, on peut donc dire que a2 = b2 + c2.
Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse la longueur du plus grand côté. On peut donc affirmer :
☺Le carré de la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des
mesures des côtés de l’angle droit.
Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; BC = 5 cm.
Vérifier par le calcul que la propriété de Pythagore s’applique à ce triangle.
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Une charpente pour un toit à pente unique a la forme ci-dessous. La longueur du toit est de 6,5 m. La poutre de soutien mesure 5,2 m.
Quelle est la hauteur entre le sommet du toit et cette poutre ?
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺Dans un triangle rectangle, le carré d’un côté de l’angle droit est égal à la différence entre
le carré de l’hypoténuse et le carré de l’autre côté de l’angle droit.
d) Exercice :
Soit un triangle DEF rectangle en D tel que DE = 12 mm et EF = 37 mm. Dessinez le triangle DEF en respectant les mesures.
Quelle est la hauteur entre le sommet du toit et cette poutre ?
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
e) Démontrer qu’un triangle est rectangle.
☺Si un triangle est rectangle, il doit vérifier la propriété de Pythagore.
1er Cas : On considère un triangle ABC dont les mesures sont les suivantes : AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5 cm
Vérifiez si ce triangle est rectangle :
- En le dessinant:
Vérifiez par le calcul si ce triangle est rectangle :
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
2ème Cas : On considère un triangle DEF dont les mesures sont les suivantes : DE = 4 cm ; DF = 5 cm ; EF = 6 cm
Vérifiez si ce triangle est rectangle :
- En le dessinant:
Vérifiez par le calcul si ce triangle est rectangle :
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
2) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
Attention : Toutes les relations que nous allons étudier ne sont valables que dans le triangle rectangle.
Regardez les triangles rectangles ci-dessous, ils sont identiques. Les noms donnés aux côtés différent cependant, ils
sont fonctions de l’angle considéré.
☺Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle sont les suivantes :
Le sinus d’un angle aigu est égal au rapport du côté opposé sur l’hypoténuse.
Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse.
La tangente d’un angle aigu est égale au rapport du côté opposé sur le côté adjacent.
A l’aide des triangles ci-dessus, complétez les égalités suivantes : Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Remarque:
sin α ━━━
cos α
=
côté opposé ━━━━━━━━━━━━
hypothénuse
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
côté adjacent ━━━━━━━━━━━━
hypothénuse
=
côté opposé ━━━━━━━━━━━━
hypothénuse
x
hypothénuse ━━━━━━━━━━━━
côté adjacent
=
côté opposé ━━━━━━━━━━━━
coté ajacent
= tan α.
☺La tangente d’un angle aigu est égale au rapport de son sinus sur
son cosinus.
On veut calculer la hauteur d’une maison. L’appareil de visée est placé à 42 m de l’axe de la maison.
Il indique un angle α de 40°. Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Une échelle est appuyée sur un mur, sa longueur est de 6 m. L’écartement entre le pied du mur et l’échelle est de 2,25 m.
Pour la sécurité, il faut que l’angle soit au moins de 20°.
L’emplacement de l’échelle correspond il à la norme de sécurité ?
Pour répondre à cette question :
Faites l’inventaire de ce qui est donné (angles, côtés) et déterminez la valeur de α. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
5) Exercice :
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AC = 45 mm et AB = 60 mm. Calculez, après avoir fait une représentation de ce triangle, l’angle Ɓ.
Calculez l’angle Ɓ, puis l'angle Ĉ. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
III) Propriétés de Thalès :
Considérer la construction géométrique ci-dessous
Les droites (Δ1) et (Δ1) sont sécantes.
Les droites (D1), (D2) et (D3) sont parallèles.
Ces parallèles déterminent sur (Δ1) et (Δ2) des segments correspondants.
[AB] correspond à [A’B’]
[AC] correspond à [A’C’]
[BC] correspond à [B’C’]
Mesurez la longueur de chaque segment, puis calculez le rapport de la longueur de chaque
segment sur celle de son segment correspondant. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Quelle conclusion pouvez-vous faire ?
☺Des droites parallèles déterminent sur deux droites sécantes des segments correspondants dont
les longueurs sont proportionnelles.
Autres égalités concernant le théorème de Thalès :
L’égalité des rapports des segments correspondant nous permet d’écrire :
AB ━━━
A'B'
=
AC ━━━
A'C'
=
BC ━━━
B'C'
A partir des égalités précédentes prises deux par deux, on peut écrire :
AB ━━━
A'B'
=
AC ━━━
A'C'
en faisant le produit en croix AB x A'C' = A'B' x AC, puis en recomposant les termes:
AB ━━━
AC
=
A'B' ━━━
A'C'
De la même manière on peut écrire :
BC ━━━
AC
=
B'C' ━━━
A'C'
;
AC ━━━
AB
=
A'C' ━━━
A'B'
etc...
De même il vous faudra admettre les égalités suivantes dans un triangle.
Dans le triangle ABC, on place un point M sur AB et un Point N sur AC de sorte que MN // BC
Sachant que AB = 4,5, AM = 3 et BC = 6, calculer MN. On remplacera les valeurs des côtés dans l'ordre d'apparition dans la formule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
