Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Équation du type x + a = b:
Activité N°1.
Activité N°2.
Exercices:
II) Équation du type ax = b:
Activité N°1.
Activité N°2.
Exercices:
III) Équation du type ax + b = c :
Exercices:
IV) Équation avec une inconnue dans chacun de ses membres:
Exercice 1:
Exercice 2:
V) Équation avec des fractions:
Exercices:
V) Petits problèmes à une inconnue:
Exercices:

Vous achetez un pain que vous payez avec un billet de 10 €. On vous rend 9,10 €. Quel est le prix du pain ?

☺ Pour résoudre ce petit problème, il n’est pas nécessaire d’utiliser la résolution d’une équation puisque le résultat saute aux yeux. Essayons cependant de découvrir le mécanisme de l’équation grâce à lui.

Traduisons ce calcul en désignant par «x» le prix du pain et écrivons une égalité. 9,10 € plus le prix du pain correspond à mon billet de 10 €.
x + 9,10 = 10
Cette égalité x + 9,10 = 10 s’appelle une équation d’inconnue x. Résoudre ce type d’équation, c’est trouver la valeur de x.

☺ On utilise ici «x» comme inconnue, mais on peut utiliser n’importe quelle autre lettre. Lorsque l’on obtient une égalité comme précédemment, on peut imaginer mettre chacun des membres sur un plateau d’une balance et que celle-ci soit à l’équilibre.



☺ Vous savez également que lorsque l’on ajoute ou que l’on retire une même valeur à chacun des plateaux d’une balance, on ne rompt pas l’équilibre de celle-ci.
Puisque résoudre une équation c’est trouver « x », enlevons 9,10 de chacun des plateaux.



Résumons chacune des étapes précédentes en les écrivant les unes en dessous des autres.

x + 9,10 = 10
   x + 9,10 - 9,10 = 10 - 9,10   
   x = 10 - 9,10   
   x = 0,90   

x =    0,90    est la solution de l'équation.

Pour connaître le volume d’un objet, on le plonge dans un récipient gradué contenant de l’eau. Le niveau d’eau qui était à la graduation 145 passe à la graduation 187.
Quel est le volume de l’objet ?

☺ Dans chacun des cas, on a l’impression de prendre le terme de gauche qui s’ajoute à « x », de le passer de l’autre côté du signe « = » et de le soustraire à l’autre membre. C’est ce que nous retiendrons pour résoudre ce type d’équation.

Lorsque l’on passe un terme d’une égalité d’un côté à l’autre du signe « = », on change l’opération : « + » devient « - » et « - » devient « + ».

Exemple : Résoudre x - 3 = 4 x - 3 = 4
x = 4 + 3
x = 7

☺ Je peux vérifier que la solution de mon équation est bonne en remplaçant « x » par la valeur trouvée. Si x = 7 alors 7 - 3 = 4 (ce qui est vrai).

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation (1) : ( 10 min 57 )

Pour résoudre les équations suivantes, il faudra essayer de comprendre comment le correcteur souhaite que vous les résolviez.
En effet, pour simplifer la vérification, le nombre de possibilités a été réduit. Il faut donc s'orienter à partir des cases vertes qui contiennent les opérateurs.

☺ Dans chacun des cas, on a l’impression de prendre le terme de gauche qui multiplie « x », de le passer de l’autre côté du signe « = » et de diviser l’autre membre. C’est ce que nous retiendrons pour résoudre ce type d’équation.

Lorsque l’on passe un terme d’une égalité d’un côté à l’autre du signe « x », on change l’opération : « multiplier » devient « diviser » et « diviser » devient « multiplier ».

Exemple : Résoudre:

x ━━━	=	4
7

x ━━━	=	4
7

x = (4)(7)
Le terme "multiplier" n'est pas écrit pour ne pas le confondre avec "x"

x = 28
☺ Je peux vérifier que la solution est bonne en remplaçant x par sa valeur. Si x = 28         alors

28 ━━━	=	4
7

          (ce qui est vrai).

Pour résoudre les équations suivantes, il faudra essayer de comprendre comment le correcteur souhaite que vous les résolviez.
En effet, pour simplifer la vérification, le nombre de possibilités a été réduit. Il faut donc s'orienter à partir des cases vertes qui contiennent les opérateurs.

Exemple : Résoudre 2x + 2 = 6

1^ère étape : Il faut séparer les termes contenant «x» des nombres.

☺ Un terme contenant «x» correspond à x lui-même ou à x multiplié ou divisé par un nombre. On sépare ces termes en les mettant d’un côté ou de l’autre du signe « = ».

2^ème étape : On effectue le calcul intermédiaire.

2x = 4

3^ème étape : On peut résoudre l’équation, puisque celle-ci est revenue sous une forme connue.

L’équation est résolue de la façon suivante : 2x + 2 = 6
2x = 6 - 2
2x = 4

x =	4 ━━━
	2

x = 2

On vérifie que la solution est bonne en remplaçant x par la valeur trouvée 2.        2 x 2 + 2 = 6 ( ce qui est vrai)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation (3) : ( 7 min 29 )

Exercices:

Résoudre l'équation suivante: On utilisera le / pour l'opérateur diviser et * pour multiplier. Les opérateurs seront écrits dans les cases vertes. Il faut respecter majuscules et minuscules pour les inconnues...On écrira en premier les termes qui ne changent pas de place...On reporte les termes dans l'ordre...               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

x ━━━

2

- 3 = 0   On met les x à gauche et les nombres à droite...

━━━

 =       

━━━

 =   

 =       

 =   

Vérification:

━━━

- =

Exemple : 7x + 2 = 2x + 7

1^ère étape : On sépare les termes contenant «x» des nombres.

2^ème étape : On effectue les calculs intermédiaires.

Cliquer sur les cercles de couleur pour voir leur devenir dans une équation.

3^ème étape : Il reste à résoudre une équation connue.

x =	5 ━━━
	5

x = 1

Vérification :      (7)(1) + 2 = (2)(1) + 7
7 + 2 = 2 + 7
9 = 9 (ce qui est vrai)

Pour résoudre les équations suivantes, il faudra essayer de comprendre comment le correcteur souhaite que vous les résolviez.
En effet, pour simplifer la vérification, le nombre de possibilités a été réduit. Il faut donc s'orienter à partir des cases vertes qui contiennent les opérateurs.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation (4) : ( 6 min 35 )

☺Lorsque l’on doit résoudre des équations du même style que celles-ci, où certains termes sont en facteurs. Il faut développer ces termes afin de ne plus avoir de parenthèses.

Résoudre l'équation suivante: On utilisera le / pour l'opérateur diviser. Les opérateurs seront écrits dans les cases vertes. Il faut respecter majuscules et minuscules pour les inconnues...On écrira en premier les termes qui ne changent pas de place...On reporte les termes dans l'ordre...               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

2(3x – 1) = 3x + 7   On développe avant de mettre les x à gauche et les nombres à droite...

     =       

     =       

 =   

 =       

 =   

Résoudre l'équation suivante: On utilisera le / pour l'opérateur diviser. Les opérateurs seront écrits dans les cases vertes. Il faut respecter majuscules et minuscules pour les inconnues...On écrira en premier les termes qui ne changent pas de place...On reporte les termes dans l'ordre...               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

4x - 1 - 3(1 - x) = 10   On développe avant de mettre les x à gauche et les nombres à droite...

             =   

     =           

 =   

 =       

 =   

Résoudre l'équation suivante: On utilisera le / pour l'opérateur diviser. Les opérateurs seront écrits dans les cases vertes. Il faut respecter majuscules et minuscules pour les inconnues...On écrira en premier les termes qui ne changent pas de place...On reporte les termes dans l'ordre...               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

3x + 7 - 4(4 + x) = -13   On développe avant de mettre les x à gauche et les nombres à droite...

             =   

     =           

 =   

 =   

Résoudre l'équation suivante: On utilisera le / pour l'opérateur diviser. Les opérateurs seront écrits dans les cases vertes. Il faut respecter majuscules et minuscules pour les inconnues...On écrira en premier les termes qui ne changent pas de place...On reporte les termes dans l'ordre...               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

5x + 7 - 2(x + 3) = 16   On développe avant de mettre les x à gauche et les nombres à droite...

             =   

     =           

 =   

 =       

 =   

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation (5) : ( 11 min 08 )

☺ Lorsque l’on doit résoudre des équations du même style que celles-ci, mais dont certains termes sont composés de fractions, le plus intéressant est de mettre tous les termes sous la forme du même dénominateur, ce qui permet de le supprimer en supposant que l’on multiplie à gauche et à droite du signe « = » par un même nombre.

Exemple :

x ━━━	+ 2 =	3x ━━━	+ 1.
3		2

Écrivons chaque terme comme une fraction de dénominateur 3 x 2 = 6. En effet pour trouver un dénominateur commun, le plus simple est de multiplier les dénominateurs entre-eux.

2x ━━━	+	12 ━━━	=	3x ━━━	+	6 ━━━
6		6		6		6

☺ On supprime les dénominateurs : 2x + 12 = 3x + 6 (Cela revient à tout multiplier par 6)

Il ne reste qu’à résoudre l’équation qui a une forme connue.

2x + 12 = 3x + 6
2x - 3x = 6 - 12
-x = - 6
x = 6

Vérification : (2)(6) + 12 = (3)(6) + 6
12 + 12 = 18 + 6
24 = 24 ( ce qui est vrai)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Résoudre une équation contenant des fractions: ( 4 min 47 )

x ━━━	+ 1 =	3x ━━━	- 2.
2		2

Il faut mettre tous les termes sous le même dénominateur...

x ━━━	+	━━━	=	3x ━━━	-	━━━
2				2

On enlève ce dénominateur, car cela revient à tout multiplier par 2.

     =       

A l'étape suivante, on mettra les x à gauche.

     =       

 =   

 =       

 =   

1 - x ━━━	+	x - 2 ━━━	= 1.
3		5

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Mettre un problème en équation (1): ( 7 min 59 )

Exemple : Résoudre le problème suivant :

Sur la plaque d’un ascenseur, on lit : Maximum 8 personnes, 620 kg. Quelle est la masse moyenne autorisée par personne ?

Solution :a) Choix de l’inconnue :
Soit x la masse moyenne d’une personne.

b) Pose de l’équation :
8x = 620

c) Résolution de l’équation :
8x = 620

x =	620 ━━━
	8

x = 77,5

d) Conclusion :
En moyenne, une personne ne doit pas dépasser 77,5 kg.

Lorsque l'on veut résoudre une équation, on part du principe que l'on connait la réponse ou une partie de celle-ci. En fait nous appellerons x le premier nombre entier.

De ce fait le suivant s'appellera     .

Sachant que la somme de ces deux nombres est égale à 69, on pourra écrire en prenant les deux nombres dans l'ordre.

=

=

=

=

=

=

Le premier de ces deux nombres sera , le second sera     soit , la somme des deux fait bien 69.

Pour résoudre ce problème, on part du principe que l'on connait la réponse... Soit x le nombre d'années écoulées. Il faut ensuite réaliser une mise en équation du problème.

Ecrire l'inconnue x en premier...

Nicolas a 16 ans, quel âge aura-t-il dans x années ? Il aura   ans.

Ecrire l'inconnue x en premier...

Son père a 38 ans, quel âge aura-t-il dans x années ? Il aura   ans.

Si l'on suppose que le père aura deux fois l'âge du fils dans x années, on peut écrire (âge du père) = 2(âge du fils) que l'on remplace avec les données précédentes prises dans le même ordre.

= 2(     )

=

On laisse les x à droite.

=

=

On peut donc dire que dans ans, le père aura 2 fois l'âge de son fils...