Auteur: Daniel GENELLE                              (Optimisé pour Mozilla Firefox.)  

I) Les suites numériques :
II) Représentation graphique d’une suite numérique :
III) Variations d’une suite :
IV) Les suites arithmétiques :
1) Définition :
2) Notation :
3) Exemple :
4) Calcul d’un terme d’une suite arithmétique connaissant le premier terme :
5) Exercices :
6) Représentation graphique d’une suite arithmétique :
7) Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique :
V) Utilisation du tableur pour résoudre un problème avec des suites :

Répondre aux questions:               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Quel est le nombre qui suit logiquement 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ;

Quel est le nombre qui suit logiquement 2 ; -2 ; 2 ; -2 ; 2 ; ;

Quel est le nombre qui suit logiquement 1 ; -2 ; 3 ; -4 ; 5 ; ;

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = 2x² + 1. On pose U₀ = f(0), U₁ = f(1), … U_n = f(n). Compléter le tableau :

U0	U1	U2	U3	U4	U5	U6
1

☺ f(0), f(1), …, f(6) définit une suite numérique dont les termes sont numérotés U₀, U₁, … U_n. (n ∈ ℕ, cela signifie que n est un entier naturel, il ne peut prendre que les valeurs entières 0, 1, 2, ………)
U₀ est le terme de rang   0  .
U₁ est le terme de rang   1  .
......
U_n est le terme de rang   n  . (On prononce « U_n » ou « U indice n », on utilise la lettre n comme naturel.).
U_n-1 est le terme qui précède U_n.
U_n+1 est le terme qui suit U_n.

☺ Une suite numérique est définie :
- Soit à l’aide d’une formule générale : u_n = f(n), où f est une fonction définie sur un ensemble de nombres entiers n. (Ex : u_n = 5 – 2n)
- Soit à l’aide d’une relation de récurrence qui exprime le premier terme de la suite u₁ et le terme u_n+1 en fonction de u_n. (Ex : u₁ = 2 et u_n+1 = 3u_n + 0,5)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Calculer les premiers termes d'une suite : ( 7 min 51 )

Exercices: Faire les deux exercices.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Exercice : Soit la suite u_n = 5 – 2n. Calculer le terme de rang 10, puis le terme qui le précède et enfin celui qui le suit.
u₁₀ = .

Le terme qui le précède est u = .
Le terme qui le suit est u = .

Exercice : Soit la suite numérique v_n définie pour tout entier positif par v₁ = 3 et tel que v_n+1 = 2v_n + 0,5. Calculer v₂ et v₃.

v₂ = 2v + = .
v₃ = 2v + = .

☺ Une suite est représentée, dans le plan rapporté à un repère, par des points de coordonnées (n ; U_n).

Exemple : Soit une suite U_n, tel que U₁ = 0,5 et U_n+1 = -2U_n + 1.
Le terme initial est U₁ = 0,5. Il est représenté graphiquement par le point A(1 ; 0,5).

Compléter les expressions.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

Le terme initial est U₁ = 0,5. Il est représenté graphiquement par le point A(1 ; 0,5).

U₂ = . Il est représenté graphiquement par le point B( ; ).
U₃ = . Il est représenté graphiquement par le point C( ; ).
U₄ = . Il est représenté graphiquement par le point D( ; ).

Reporter les points dans le repère suivant. Déterminer les valeurs de U₅ et U₆, reportez les dans le même repère.

U₅ = . Il est représenté graphiquement par le point E( ; ).
U₆ = . Il est représenté graphiquement par le point F( ; ).

☺ La suite u_n est croissante signifie que pour tout entier n, on a u_n+1 ≥ u_n.

La suite u_n est décroissante signifie que pour tout entier n, on a u_n+1 ≤ u_n.

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer la variation d’une suite : ( 7 min 07 )

Une suite arithmétique est une suite de nombres, chacun d’eux s’obtient en ajoutant au précédent un nombre constant appelé raison.

Dans une suite les termes sont notés u₁, u₂, u₃, …… u_n .

u₁ est le premier terme.
u_n est le terme de rang   n  , u_n = u(_n-1) + r.
La raison est notée   r   .

Les nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 sont les 5 premiers termes d’une suite arithmétique :

- de premier terme u₁ =   1  
- de raison r =   2  .
On calcule le sixième terme en ajoutant r au cinquième.
u₆ = u₅ + r = 9 + 2 = 11 u₆ =   11  

Si le premier terme est u1	Si le premier terme est u0
u2 = u1 + r u3 = u2 + r = u1 + r + r = u1 + 2r u4 = u3 + r = u2 + r + r = u1 + r + r + r = u1 + 3r … u7 = u1 +   6  r	u1 = u0 + r u2 = u1 + r = u0 + r + r = u0 + 2r u3 = u2 + r = u1 + r + r = u0 + r + r + r = u0 + 3r … u7 = u0 +   7  r

Observer à chaque fois le nombre qui multiplie r et comparer le à l'indice du terme recherché.

☺ Plus généralement :

u_n = u₁ + (n - 1)r (Attention le premier terme est u₁.)

u_n = u₀ + nr (Attention le premier terme est u₀.)

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Déterminer l’expression générale d’une suite arithmétique : ( 6 min 09 )

Conseil: regarde la vidéo ci-dessous de la série m@ths et ticques.
Vidéo : Démontrer qu’une suite est arithmétique : ( 4 min 22 )

Exercice N°1 : Donner les 4 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u₁ = 2,5 et de raison r = 1,2. Attention on ne complètera que les termes nécessaires...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

u₁ = .

u₂ = .

u₃ = .

u₄ = .

u₅ = .

u₆ = .

Exercice N°2 : Une suite arithmétique de raison r = 4,1 est telle que u₅ = -2. Calculer u₆, u₇, u₈.
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

u₆ = .

u₇ = .

u₈ = .

Exercice N°3 : Calculer les quinzième, vingt-troisième et quarante-deuxième termes de la suite arithmétique de premier terme u₁ = 2 et de raison r = - 2,6. (Rappel: u_n = u₁ + (n - 1)r)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

u₁₅ = u + r = .

u₂₃ = u + r = .

u₄₂ = u + r = .

☺ La représentation graphique d’une suite arithmétique est une série de points alignés sur une droite de coefficient directeur r et d’ordonnée à l’origine u₀.

Exemple : En 2005, un institut de formation a recruté 35 élèves. Depuis, le nombre d’élèves recrutés augmente de 15 par an. On note u₀ le nombre d’élèves recrutés en 2005, u₁ le nombre d’élèves recrutés en 2006, u₂ le nombre d’élèves recrutés en 2007, etc…

Écrire chaque terme u₁, u₂… jusque u₅. Représenter les sur le graphique suivant.               Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

u₀ = .

u₁ = .

u₂ = .

u₃ = .

u₄ = .

u₅ = .

Pour placer les points, cliquer sur le point et sans lâcher le clic, le déplacer. Pour corriger le graphique cliquer sur correction en desous de celui-ci...

Variation d’une suite arithmétique :

Une suite arithmétique est croissante si r > 0.
Une suite arithmétique est décroissante si r < 0.

☺ Pour calculer la somme des termes d’une suite arithmétique, on utilise la formule :

S =

nombre de termes x (premier terme + dernier terme) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2

.

Exercice :Soit une suite arithmétique de premier terme u₁ = 3,2 et de raison r = 4,5. Calculer u₂₀ puis S₂₀. (Compléter les formules avec les nombres dans l'ordre d'apparition des termes...)
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

u₂₀ = u₁ + (n - 1)r = + () x = .

S₂₀ =

( + ) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

= .

Aide pour le tableur :

La référence absolue et la référence relative :

Observons les deux calculs suivants :

Aide pour le tableur :

La formule =SI(Test_logique;Valeur_si_vrai;Valeur_si_faux) :