Le second degré: Exercices complémentaires .

Auteur: Daniel GENELLE (Optimisé pour Mozilla Firefox.)

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Sommaire

Automatisme:
Connaissances:
Exercice N°1:
Exercice N°2:
Exercice N°3:
Exercice N°4:

Automatisme:

Répondre aux questions:              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un point rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...
1) Quatre polynômes de type f(x) = ax² + bx + c sont représentés ci-dessous.

Associe à chaque courbe sa fonction.

f(x) = -2x² + 4x + 1 est associé à la courbe C.
g(x) = 4x² – 8x + 7 est associé à la courbe C.
h(x) = -2x² + 6x + 7 est associé à la courbe C.
i(x) = 3x² – 6x + 5 est associé à la courbe C.

2) Tableau de variation :

Soit la fonction f(x) = 2x² + 4x – 6 définie sur [-4 ; 3]. Compléter le tableau de variation de cette fonction à partir de sa courbe.

  x



  f(x)

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Connaissances :

Répondre aux questions:              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci, ou par l'apparition d'un point rouge...

1) Un polynôme d’équation y = ax² + bx + c est une tournée vers le haut si a est , tournée vers le bas si a est .

2) f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) est la forme factorisée d’un polynôme dont l’équation f(x) = 0 a solution(s), f(x) = a(x – x₀)² est la forme factorisée d’un polynôme dont l’équation f(x) = 0 a solution(s).

3) L’abscisse x de l’extremum d’un polynôme ax² + bx + c est donné par la formule:

b
━━━

2a



-b
━━━

2a



c
━━━

2a



-c
━━━

2a

4) Lorsqu’un polynôme ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂. Connaissant x₁, on peut déterminer la valeur de x₂ en utilisant la relation :

c = a.x₁.x₂         c = b.x₁.x₂         a = c.x₁.x₂         a = b.x₁.x₂

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Exercice N°1:

Soient les fonctions f(x) = 2x² + 5x – 3 et g(x) = -4x² + 6x + 10. Répondre aux questions:
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Indiquer leur ordonnée à l’origine et l’abscisse de leur sommet (en valeur décimale), en précisant si celui-ci est un maximum ou un minimum.

f(x) a pour ordonnée à l’origine , l’abscisse de son sommet est , il s’agit d’un .
g(x) a pour ordonnée à l’origine , l’abscisse de son sommet est , il s’agit d’un .

b) Représenter graphiquement les fonctions f et g, puis donner les solutions des Equations f(x) = 0 et g(x) = 0. Ecrire les racines dans l'ordre croissant.

f(x) = 0 <=> x₁ = et x₂ = .
g(x) = 0 <=> x₁ = et x₂ = .

c) Donner l’écriture factorisée des fonctions f et g.
Reporter les racines dans l'ordre d'apparition ci-dessus, on mettra les opérateurs dans les cases vertes...

f(x) = (x )(x ) g(x) = (x )(x )

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Exercice N°2:

Soient les fonctions f(x) = 3x² - 21x + 30, g(x) = 0,4x² + 0,8x - 1,2 et h(x) = -1,5x² + 3x – 1,5. Répondre aux questions:
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) Associer chaque fonction à une des courbes ci-dessous et compléter le texte.

f(x) est associé à la courbe C, sa est tournée vers le . g(x) est associé à la courbe C, sa est tournée vers le et h(x) est associé à la courbe C, sa est tournée vers le .

b) A partir des courbes précédentes, donner une écriture factorisée des fonctions f, g et h.
Reporter les racines dans l'ordre d'apparition ci-dessus, on mettra les opérateurs dans les cases vertes...

f(x) = (x    )(x    )       g(x) = (x    )(x    )

h(x) = (x    )(x    )

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Exercice N°3:

Pour les polynômes de degré 2 suivants, définis sur [-10 ; 10], déterminez leur forme factorisée connaissant leurs racines, puis établir leur tableau de signe.

a) P₁(x) = 2x² – 2,8x – 1,44 avec x₁ = -0,4 et x₂ = 1,8.
On reporte en x les bornes de l'ensemble de définition, ainsi que les valeurs de x pour lesquelles la fonction est nulle. On déplace alors les signes du polynôme à leur emplacement. Reporter les racines dans l'ordre d'apparition ci-dessus, on mettra les opérateurs dans les cases vertes...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...

P₁(x) = (x    )(x    )

   x

   P₁(x)







b) P₂(x) = -5x² – 30x – 40 avec x₁ = -4 et x₂ = -2.
On reporte en x les bornes de l'ensemble de définition, ainsi que les valeurs de x pour lesquelles la fonction est nulle. On déplace alors les signes du polynôme à leur emplacement. Reporter les racines dans l'ordre d'apparition ci-dessus, on mettra les opérateurs dans les cases vertes...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...

P₂(x) = (x    )(x    )

   x

   P₂(x)







c) P₃(x) = -4x² – 4x + 3 avec x₁ = -1,5 et x₂ = 0,5.
On reporte en x les bornes de l'ensemble de définition, ainsi que les valeurs de x pour lesquelles la fonction est nulle. On déplace alors les signes du polynôme à leur emplacement. Reporter les racines dans l'ordre d'apparition ci-dessus, on mettra les opérateurs dans les cases vertes...
              Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci. Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...

P₃(x) = (x    )(x    )

   x

   P₃(x)

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Exercice N°4:

Pour chaque équation du second degré suivante, déterminer la deuxième solution x₂ connaissant la première solution x₁. Remplacez les lettres dans l'ordre d'apparition de la formule.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...

a) 2x² + 5x – 3 = 0 avec x₁ = -3

x₂ = =

━━━━━━━━━━━━━━━━━━

() ()

= .

b) -160x² - 74x + 3 = 0 avec x₁ = -0,5

x₂ = =

━━━━━━━━━━━━━━━━━━

() ()

= .

c) 0,3x² - 7,5x – 45 = 0 avec x₁ = -5

x₂ = =

━━━━━━━━━━━━━━━━━━

() ()

= .

d) x² + 7x = 0 avec x₁ = -7

x₂ = =

━━━━━━━━━━━━━━━━━━

() ()

= .

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