On rappelle qu’un nombre suivi d’une lettre, un nombre suivi d’une parenthèse ou une lettre suivi d’une autre
lettre n’accordent qu’une seule opération entre-eux, il s’agit d’une multiplication. (Exemple : 2a signifie 2
multiplié par a).
I) Les fonctions polynômes (Rappels) :
1) Développer, factoriser :
Rappels : Pour tout réels a, b et c a( b + c) = ab + ac
On dit que l’on développe lorsque l’on passe de a( b + c) à ab + ac On dit que l’on factorise lorsque l’on passe de ab + ac à a( b + c)
Exemples : Développer 3(2a – 3b + 4c)
Afin de bien comprendre le mécanisme du développement, on affecte des couleurs aux termes.
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire :
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les fractions doivent être simplifiées. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Développer et réduire:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Il faut chercher le plus grand terme (nombre ou/et lettre) commun que l’on pourrait multiplier à chaque fois dans chacun des termes. On vérifie le résultat en redéveloppant l’expression.
Factoriser
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Factoriser
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Factoriser
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Factoriser
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺Un polynôme est caractérisé par : - La lettre x qui représente un nombre réel - Son degré qui est le plus grand exposant de x
A(x) est de degré 1 ; B(x) est de degré 2 ; C(x) est de degré 3 et D(x) est de degré 4 .
Pour définir le degré d’un polynôme, on dira que C(x) est du troisième degré.
On peut calculer la valeur d’un polynôme en écrivant par exemple B(2). B(2) est la valeur du polynôme pour x = 2.
Afin de bien comprendre le mécanisme de calcul, on affecte des couleurs aux termes. On reprend l’expression de B(x) donnée précédemment.
B(2) = 3(2)2 – 4(2) + 7 = 12 – 8 + 7 = 11
On pourrait également mettre la fonction dans la calculatrice et demandé un tableau de valeurs commençant par 2 comme nous savons le faire.
On peut additionner des polynômes. Calculons C(x) + D(x)
☺Lorsque l’on multiplie un polynôme de degré b par un polynôme de degré c, on obtient un polynôme de degré bc .
Le rapport de deux polynômes
A(x) ━━━
B(x)
est une fraction rationnelle. Parfois, il est possible de simplifier des fractions rationnelles.
E(x) =
x2 - 2x ━━━━━━
x2 + 2x
=
x(x - 2) ━━━━━━
x(x + 2)
=
(x - 2) ━━━━━━
(x + 2)
(pour x ≠ 0)
Exercice:
On donne les polynômes A(x) = 4x2 – 3x + 5 ; B(x) = -x2 + 6x – 7 et C(x) = 3x2 – 3x – 9
Calculer:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Calculer:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Calculer:
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges, on ne reporte ici que le résultat,
les lettres sont obligatoirement en minuscule, il faudra également écrire x et non 1x. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Soit la fonction f définie sur [-2 ; 7] par f(x) = x2 – 5x + 2.
Compléter le tableau de valeurs suivant, puis répondre aux questions.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Compléter le tableau de variation de f, puis répondre aux questions.On dispose les flèches par glisser, déposer... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...
Soit f la fonction définie sur [-2 ; 4] par f(x) = -2x2 + 4x + 3
a) Compléter le tableau de valeurs suivant, puis répondre aux questions.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
c) Compléter le tableau de variation de f, puis répondre aux questions.On dispose les flèches par glisser, déposer... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...
3) Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré :
☺La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole d’équation
y = ax2 + bx + c.
En reprenant les fonctions des activités 1 et 2, identifier les lettres a et b et calculer le rapport
-b ━━━
2a
, puis répondre aux questions Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺La parabole est tournée vers le haut lorsque a > 0 et vers le bas
lorsque a < 0. Le sommet S de la parabole est le point dont l’ordonnée est le
minimum de la fonction polynôme lorsque a > 0 ou le maximum de la fonction polynôme lorsque a < 0.
L’abscisse du sommet S est
-b ━━━
2a
. La droite d'équation y =
-b ━━━
2a
est l'axe de symétrie de la parabole.
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir que lorsque a > 0, la parabole est tournée vers le haut et inversement.
Il suffit de prendre les émoticons. Lorsque quelque chose est positif, on sourit 😊,
la parabole est tournée vers le haut. Lorsque quelque chose est négatif, on sourit à l’envers 😒
la parabole est tournée vers le bas. On aura toujours la valeur d’un sommet en utilisant
1) Résoudre une équation du second degré : Étude graphique.
Avec un traceur de courbes, on a réalisé la représentation graphique de trois fonctions du second degré dans un repère orthogonal.
En utilisant les graphiques, résoudre les équations : Résoudre une équation graphiquement, c’est trouver les valeurs de x (abscisses) pour lesquelles la courbe admet des points d’intersection avec l’axe des abscisses.
En utilisant les graphiques, résoudre les équations :Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺ Une équation du second degré peut avoir deux solutions x1 et x2,
une seule solution x0 (dite solution double) ou ne pas avoir de solution. Les solutions sont appelées racines de l’équation.
☺ On dit que f(x) est donné sous forme factorisée si on peut l’écrire sous la forme
f(x) = a(x – x1)(x – x2) où a, x1 et x2 sont des nombres réels et a ≠ 0. Attention : Une fonction polynôme du second degré n’admet pas toujours de forme factorisée.
Lorsqu’un polynôme a deux racines x1 et x2, sa forme factorisée est : a(x – x1)(x – x2).
Lorsqu’un polynôme possède une seule racine x0, sa forme factorisée est : a(x – x0)2.
Lorsqu’un polynôme n’a pas de racine, il n'a pas de forme factorisée.
Factoriser les équations précédentes. Ecrire les solutions dans l'ordre croissant, et les facteurs dans l'ordre des solutions. mettre obligatoirement une valeur dans chaque case. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺ Lorsque l’on a identifié x1 comme une des racines d’une équation du second degré
ax2 + bx + c =0, on peut déterminer x2 l’autre racine en appliquant l’égalité : c = a.x1.x2.
Exemple 1: x2 - 4x + 3 = 0 si l’une des racines est 1, on obtient l’autre racine en résolvant
l’équation : 3 = 1(1)(x2) x2 =
3 ━━━
1
= 3 x2 - 4x + 3 = 1(x – 1)(x – 3).
Exemple 2: 0,5x2 – x + 0,5 = 0 on a déterminé une racine comme étant 1, on cherche l’autre racine (sans savoir qu’il n’y en a qu’une). On résout l’équation
0,5 = 0,5(1)(x2) x2 =
0.5 ━━━
0.5
= 1 L’autre racine étant également 1, l’équation admet une racine double qui est 1. 0,5x2 – x + 0,5 = 0,5(x – 1)2.
Exercice: Après avoir déterminé les racines de l’équation, factoriser le polynôme.
Ecrire les solutions de l'équation puis factoriser. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases dans l'ordre croissant.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que la première case et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
On ne complète que la formule correspondant au cas identifié, si a = 1, il faut l'écrire, on écrit rien si il n'y a pas de solutions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Ecrire les solutions de l'équation puis factoriser. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases dans l'ordre croissant.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que la première case et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
On ne complète que la formule correspondant au cas identifié, si a = 1, il faut l'écrire, on écrit rien si il n'y a pas de solutions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Ecrire les solutions de l'équation puis factoriser. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases dans l'ordre croissant.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que la première case et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
On ne complète que la formule correspondant au cas identifié, si a = 1, il faut l'écrire, on écrit rien si il n'y a pas de solutions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On donne un tracé de la parabole représentative d’une fonction polynôme f définie sur un intervalle [a ; b]. Dans chacun des cas :
Compléter le tableau de signes de f en précisant les valeurs de changement de signe.
On dispose les signes de f(x) par glisser, déposer... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des signes faux...
Exemple: On reporte en x les bornes de l'ensemble de définition (attention, il s'agit bien des bornes et non pas des limites visuelles de la courbe), ainsi que les valeurs de x pour
lesquelles la fonction est nulle. On déplace alors les signes de f(x) à leur emplacement.
f est définie sur [-4 ; 4] par f(x) = -x2 - 3x - 2
x
-4
-2
-1
4
f(x)
☺Signe du polynôme ax2 + bx + c
Deux cas sont possibles:
Si l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions distinctes x1 et x2.
Le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Si l’équation ax2 + bx + c = 0 n'admet pas deux solutions distinctes x1 et x2.
Le polynôme est du signe de a pour tout réel x.
Lorsque l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions distinctes
x1 et x2 et que l’on veut résoudre f(x) > 0, on regarde le signe de a (qui est le nombre qui
multiplie x2).
Si a > 0, le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines et donc positif à l’extérieur des racines. La solution correspondra à ] -∞ ; x1[ ∪ ]x2 ; +∞[.
On remarquera que l’on ne prend pas les valeurs x1 et x2 dans la solution car on cherche un ensemble de solutions strictement positif (qui n'est pas égal à 0).
Si a < 0, le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines, donc négatif à l’extérieur des racines et positif à l’intérieur. La solution correspondra à ]x1 ; x2[.
a) f(x) = -x2 + 2x – 9 On veut résoudre -x2 + 2x – 9 > 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
b) f(x) = x2 + 4x + 3 On veut résoudre x2 + 4x + 3 > 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
c) f(x) = -x2 - 9x + 10 On veut résoudre -x2 - 9x + 10 > 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
a) f(x) = -10x2 + 3x – 1 On veut résoudre -10x2 + 3x – 1 ≥ 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
b) f(x) = -x2 + 14x – 49 On veut résoudre -x2 + 14x – 49 ≥ 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
c) f(x) = x2 - 2x + 1 On veut résoudre x2 - 2x + 1 ≥ 0. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Dire s'il y a des solutions ou non, s'il n'y pas de solution, passer à l'exercice suivant. Sil y en a, compléter l'ensemble des solutions de la manière suivante:
On écrira inf (en minuscule) pour ∞. On rappelle que lorsqu'une borne correspond à l'infini, le crochet doit être ouvert.
On mettra les crochets dans les cases vertes. Voici différents types de solutions que l'on pourrait avoir:
Une jeune créatrice fabrique des bijoux fantaisies et vend toute sa production. Le bénéfice total obtenu par la vente de n bijoux est, en euros, B(n) = -0,5n2 + 50n – 450.
Répondre aux questions. Lorsqu'il y a 2 solutions, on remplit l'ensemble des cases.
Lorsqu'il n'y a qu'une solution, on ne remplit que x1 et lorsqu'il n'y a pas de solution, on écrit rien dans la partie solution.
Ecrire les solutions dans l'ordre croissant. Pour écrire ] il faut taper AltGr et ° et pour écrire [ il faut taper AltGr et 5.Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
La société de restauration collective « Saveurs du monde » prépare et commercialise des
repas cuisinés. Les contraintes de production imposent la préparation de 300 à 800 repas par jour. Répondre aux questions.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Un laboratoire étudie l’évolution de bactéries dans le jus d’orange non pasteurisé.
À un instant tM que l’on devra déterminer, on introduit une molécule capable de stopper la progression
des bactéries. L’objectif est de savoir quand les bactéries seront entièrement détruites. Pour cela, on dénombre les
bactéries avant et après l’introduction de la molécule. Répondre aux questions.
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
