On rappelle qu’un nombre suivi d’une lettre, un nombre suivi d’une parenthèse ou une lettre suivi d’une autre
lettre n’accordent qu’une seule opération entre-eux, il s’agit d’une multiplication. (Exemple : 2a signifie 2
multiplié par a).
I) Droite et équation de droite :
1) Définition :
☺Une droite caractérise une fonction affine dont l’équation est y = ax + b.
a et b sont deux nombres réels. a est appelé le coefficient directeur de la droite et b l’ordonnée à l’origine.
Si b = 0, on obtient une fonction linéaire a = ax.
a) On connaît le coefficient directeur et les coordonnées d’un point de la droite :
Exemple : Recherchons l’équation de la droite passant par A(5 ; 2) et de coefficient directeur a = - 0,25.
--> L’équation générale de la droite est y = ax + b
--> Puisque que l’on connaît le coefficient directeur, on peut donc écrire y = - 0,25x + b
--> Puisque la droite passe par le point A, remplaçons x par 5 et y par 2
2 = - 0,25 x 5 + b
b = 2 + 1,25
b = 3,25
--> La droite a pour équation y = - 0,25x + 3,25
Exercice: Rechercher l’équation de la droite passant par B( -1 ; 5) et de coefficient directeur a = -3.
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On obtient le coefficient directeur a en calculant
y2 - y1 ━━━━━━
ⅹ2 - ⅹ1
On choisit d'affecter les valeurs de ⅹ1 et y1 à un point et les valeurs de
ⅹ2 et y2 à l'autre point. Le choix ici n'a pas d'importance, le calcul fonctionne dans les deux sens.
Choisissons poue A, ⅹ1 = -2 et y1 = -1.
Choisissons poue B, ⅹ2 = 2 et y2 = 5.
On calcul a =
y2 - y1 ━━━━━━
ⅹ2 - ⅹ1
=
5 - (-1) ━━━━━━
2 - (-2)
=
6 ━━━
4
= 1,5.
L’équation de la droite devient y = 1,5ⅹ + b . Il nous reste à trouver la valeur de b. Cette droite
passe par le point A comme par le point B, on peut donc remplacer x et y par les coordonnées de A ou par ceux de B. On choisit ici
les coordonnées du point A.
-1 = 1,5 x (-2) + b
-1 = -3 + b
-1 + 3 = b
b = 2
L’équation est donc y = 1,5x + 2
Exercice: Donner l’équation de la droite passant les points A(2 ; 4) et B(4 ; 1).
On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes et les puissances dans les cases rouges,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On trace la droite passant par les deux points A(-2 ; -1) et B(2 ; 5). L’équation de la droite est y = aⅹ + b.
On mesure sur le graphique l’évolution de y lorsque ⅹ augmente de 1. Cette évolution correspond au coefficient
directeur a.
Lorsque ⅹ augmente de 1, y augmente de 1,5 a = 1,5
b se lit en prenant l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine est 2 . b = 2
La droite a pour équation y = 1,5ⅹ + 2.
(Vous pouvez installer ce logiciel sans crainte même si votre ordinateur vous indique qu'il vient d'un site inconnu. J.C. MEIER est
un professeur de mathématiques et ce logiciel est installé au Lycée.)
Sélectionner l’onglet « Droites », puis « Équation d’une droite » et enfin « Module I » pour les fonctions linéaires
et « Module II » pour les fonctions affines.
L’exercice consiste à déterminer l’équation de la droite demandée. Pour le « Module II », il vous faudra au préalable
choisir le type de droite à déterminer.
S’il s’agit d’une fonction linéaire, on coche y = ax, s’il s’agit d’une fonction affine, on coche y = ax + b. Il
nous reste à donner la valeur du coefficient a et du coefficien b. Les droites y = k et x = k sont deux types de
droites particulières. La première y = k est une droite horizontale, par exemple y = -3, c’est la droite horizontale
qui coupe l’axe des y en -3. Le deuxième x = k est une droite verticale, par exemple x = 5 est la droite verticale
qui coupe l’axes des x en 5. Dans ces deux cas, il faut donner la valeur du coefficient k.
A l’aide d’un grapheur on trace la courbe représentative de la fonction f : ⅹ --> ⅹ2.
On a placé le point de coordonnées (1 ; 1), puis on a réalisé plusieurs zooms successifs au voisinage de ce point.
Que semble devenir, dans ces zooms successifs, l’allure de la courbe au voisinage du
point de coordonnées (1 ; 1) ?
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Pour la suite de ce cours, il faut que geogebra soit installé sur votre ordinateur.On prendra GeoGebra Classique 5 qui me parait plus simple dans sa présentation.
Téléchargement de GeoGebra Classique 5. Si la configuration a l'installation est correcte, lorsque vous cliquez sur le lien suivant, l'ordinateur doit vous
proposer d'ouvrir le fichier avec GeoGebra.exe. Si ce n'est pas le cas, enregistrer ce fichier sur votre disque dur
et cliquer deux fois desssus pour le lancer.
Dans la fenêtre « saisie », on a tapé l’instruction y = x^2 qui permet de tracer la courbe de la fonction x --> x2.
On place un point A sur cette courbe, puis un point B, ces deux points sont mobiles sur la courbe. On trace la droite
(AB) en rouge, on met en évidence la pente de la droite qui correspond au coefficient directeur de celle-ci.
On positionne le point A sur la courbe de sorte que ses coordonnées deviennent (1 ; 1). On se propose ensuite de
faire glisser le plus prés possible de A le point B afin de pouvoir lire la valeur de la pente. Afin d’obtenir une
plus grande précision, il est possible de zoomer sur cette courbe.
En zoomant de plus en plus sur le point A et en approchant le plus possible le point B du point A, vers quelle
valeur tend le coefficient de la pente ? Il tend vers 2 .
☺La droite obtenue lorsque B se situe le plus prés possible de A s’appelle la tangente à la
courbe au point A(1 ; 1). Son coefficient directeur s’appelle le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse
1. On le note f’(1). Dans ce cas f'(1) = 2.
On approche une courbe en un point A(ⅹA ; yA) par une fonction affine. Le coefficient
directeur de la droite est le nombre dérivé au point d’abscisse ⅹA. On le note f’(ⅹA).
Exercice: On reprend la fonction ⅹ2 et l'application GeoGebra précédente. Dans le cas précédent,
on écrit f’(1) = 2. De la même manière, pour la fonction f(ⅹ) = ⅹ2, chercher :
Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Sans l'utilisation de GeoGebra, la courbe est représentée cidessous.
Exercice: La courbe est celle de la fonction f(x) = ⅹ3 sur [-2 ; 2].
On a tracé deux tangentes à cette courbe, une au point d’abscisse –1 et l’autre au point d’abscisse 1.
Déterminer les équations de ces deux tangentes.On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes,
les lettres sont obligatoirement en minuscule. Une équation de droite s'écrit le plus simplement possible y = -2ⅹ - 3 et non y = -2ⅹ + -3. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice: Soit f une fonction définie sur [-1 ; 4] et C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.
On donne le tableau de valeurs suivant. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est exacte, la corriger si elle ne l’est pas.
Ne rien écrire lorsque cela n'est pas nécessaire.Une équation de droite s'écrit le plus simplement possible y = -ⅹ - 3 et non y = -1ⅹ + -3. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice: Soit f la fonction définie sur [-3 ; 3] par f(x) = x2 – 2.
Calculer les nombres dérivés aux points de coordonnées –2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2.
(L'exercice ne correspond pas au document papier car le tracé de segment n'est pas réalisable sur ce document.) Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
III) Dérivées des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 :
1) Activité :
Soit C la courbe représentative de la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 déjà étudiée.
On place les points M1, M2, M3 et M4 d’abscisses respectives –2, -1, 1,
et 2. On trace les tangentes T1, T2, T3 et T4 à la courbe passant par
ces points.
Répondre aux questions: Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
☺La fonction dérivée (ou dérivée) de f est la fonction, qui, à tout nombre x associe le nombre dérivé f’(x) ;
on la note f’.
a) Dérivée d’une fonction affine :
Si f(x) = ax + b alors f’(x) = a . (Ce qui est logique puisque le nombre dérivé est le coefficient directeur de la
tangente à la fonction qui est ici la droite elle-même.)
Exemple : f(x) = -3x + 3 f’(x) = -3
Ce qui signifie que la dérivée d’une fonction constante est nulle, si f(x) = k alors f’(x) = 0 .
Exemple : f(x) = 5 f’(x) = 0
b) Dérivée de la fonction carrée :
Si f(x) = x2 alors f’(x) = 2x.
c) Dérivée d’une somme de fonctions :
Si f(x) = u(x) + v(x) alors f’(x) = u’(x) + v’(x)
Exemple : f(x) = x2 - 3x + 3 On peut décomposer ce polynôme en la somme de deux fonctions que l’on pourra dériver individuellement f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = x2 et v(x) = -3x + 3.
u’(x) = 2x v’(x) = -3 alors f’(x) = u’(x) + v’(x) = 2x - 3
d) Dérivée du produit d’une fonction par une constante :
Si f(x) = k.u(x) alors f’(x) = k.u’(x)
Exemple : f(x) = 7x2 On peut écrire f(x) = k.u(x) avec k = 7 et u(x) = x2.
Puisque f’(x) = k.u’(x) alors f’(x) = 7(2x) = 14x.
Formules de dérivation:
f(x)
f'(x)
Fonction constante
a
0
Fonction affine
ax + b
a
Fonction carrée
x2
2x
Fonction Polynôme de degré 2
ax2 + bx + c
2ax + b
Somme de deux fonctions dérivables
u(x) + v(x)
u'(x) + v'(x)
Produit d’une fonction dérivable par une constante
Exercice : Dériver les fonctions suivantes. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice : Dériver les fonctions suivantes, puis répondre aux questions. (On mettra les opérateurs + ou - dans les cases vertes.) Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
IV) Utilisation de la fonction dérivée pour étudier les variations d’une fonction :
1) Activité :
Soit la courbe C de la fonction f(x) = x2 – 2x définie sur [-1 ; 4].
A partir de l’observation de la courbe , donner le tableau de variation de la fonction f sur [-1 ; 4]. Répondre aux questions
On dispose les flèches par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
Rappels: Pour étudier le signe de f'(x), il faut résoudre l'équation f'(x) = 0.
f'(x) = 0 2x - 2 = 0 2x = 2 x =
2 ━━━
2
x = 1
Si x < 1, prenons par exemple x = 0 et calculons f'(0) = 2(0) - 2 = -2. f'(x) est donc négatif pour x < 0 et positif pour x > 0.
Étudier sur [-1 ; 4], le signe de f’(x). Compléter le nouveau tableau de variation de la fonction f(x)
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
☺ Si pour la valeur x0 d’un intervalle I, la dérivée f’ s’annule et change de signe, alors la fonction f
admet en x0 un extremum (minimum ou maximum).
x
x0
f'(x)
-
0
+
f(x)
f(x0)
La fonction admet en x0 un minimum.
x
x0
f'(x)
+
0
-
f(x)
f(x0)
La fonction admet en x0 un maximum.
Exercice : On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-2 ; 2] par f(x) = -x2 + 3x + 4. Répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
d) Tracer cette fonction à l’aide de la calculatrice. On peut appliquer les paramètres de la fenêtre suivants :
Fenêtre :
xmin = -2 xmax = 3 pas = 1
ymin = -7 ymax = 7 pas = 1
Vérifier la valeur du maximum à l’aide de la calculatrice.
Exercice N°1: Soit f la fonction définie sur [-4 ; 5] par f(x) = x2 - 2x - 5. Répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
Exercice N°2: Une étude prévisionnelle pour la vente d’un nouveau parfum a donné le résultat suivant : le nombre de ventes en fonction du prix x du flacon, en euros, est modélisé par la fonction f définie sur [10 ; 15] par : f(x) = -375x2 + 9 600x – 9 000. Répondre aux questions.
On dispose les symboles par glisser, déposer. Ne rien mettre dans les cases sensées être vides... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci.
Un bouton rouge apparait sous les cases contenant des symboles faux...
