☺Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Elle peut être répétée dans des
conditions identiques et les résultats ne sont pas prévisibles.
☺On appelle issue ou éventualité le résultat possible d’une expérience aléatoire.
L’ensemble des issues ou éventualités est appelé Univers, que l’on note Ω (Oméga en grec) Exemple : Lorsque l’on jette un dé, l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
☺On appelle événement l’ensemble constitué d’un certain nombre d’issues
d’une expérience aléatoire. Exemple : I est l’événement « Obtenir un chiffre impair ».
☺On appelle échantillon de taille 50, le fait d’avoir lancer 50 fois la pièce de monnaie.
La fréquence d’obtenir « PILE » est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles.
☺La probabilité d’une issue est la valeur vers laquelle la fréquence se stabilise.
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
☺La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1 .
☺On a une situation d’équiprobabilité quand les n événements élémentaires
d’une expérience aléatoire ont la même probabilité d’être réalisés. La probabilité de chaque événement
élémentaire est p =
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. L’univers est l’ensemble des 32 cartes du jeu. On s’intéresse
aux événements :
- A : « La carte tirée est un as »
L’événement A est constitué de 4 événements élémentaires : As de pique, As de trèfle, As de carreau et As de cœur
- B : « La carte tirée est un cœur »
L’événement B est constitué de 8 événements élémentaires : Tous les cœurs, du sept à l’as.
☺ La réunion de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
On note A ⋃ B et on lit « A union B »
L’événement A ⋃ B correspond à l’événement : « La carte tirée est un as ou un cœur ».
☺ L’intersection de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent
l’événement A et l’événement B.
On note A ⋂ B et on lit « A inter B »
L’événement A ⋂ B correspond à l’événement : « La carte tirée est un as de cœur ».
On considère l’événement C : « La carte tirée est un valet. »
☺ Les événements A et C sont incompatibles car la carte
tirée ne peut être à la fois un as et un valet.
☺Deux événements sont contraires si : - Ils n’ont aucun résultat en commun. - La réunion de leur résultat forme l’univers. On note A l’événement contraire de A. On lit « A barre ».
A et A sont des évènements complémentaires. A ⋂ A = ∅ et A ⋃ A = Ω.
Dans le cas présent, l’événement A est : « La carte tirée n’est pas un as .»
Soient deux événements A et B, A est l’événement contraire de A.
Si on souhaite calculer la probabilité p(A⋃B), c'est-à-dire la carte tirée est un as ou un cœur, on ne
peut pas se contenter d’additionner les deux probabilités p(A) + p(B). En effet l’issue « as de cœur » apparaitrait deux
fois.
☺ p(A) = 1 - p(A) p(A⋃B) = p(A) + p(B) – p(A⋂B) Si A et B sont incompatibles, alors P(A⋂B) = 0 et p(A⋃B) = p(A) + p(B).
Exercice N°1 : On lance un dé à six faces, on considère l’événement A « obtenir au moins 4 » et l’événement B « obtenir un nombre pair ».
Répondre aux questions. On fera apparaitre les issues dans l'ordre croissant, le nombre de cases réponses est supérieur au nombre nécessaire. Remplir les cases à partir de la gauche... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice N°2 : Un jeu contient 32 cartes, la règle du jeu est la suivante : « Chaque joueur tire une carte, il gagne si c’est une figure.» Répondre aux questions. On fera apparaitre les issues dans l'ordre croissant, le nombre de cases réponses est supérieur au nombre nécessaire. Remplir les cases à partir de la gauche... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice N°3 : On lance un dé à six faces, on considère les événements :
A « Obtenir un nombre impair ».
B « Obtenir 1 ou 6 ».
Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Deux ateliers de production A et B ont fabriqué 300 pièces au total ; certaines avec un défaut. L’atelier A a produit
200 pièces dont 6 sont défectueuses. Le nombre total des pièces défectueuses est 10.
On note A la pièce provient de l’atelier A, B la pièce provient de l’atelier B et D la pièce présente un défaut.
Répondre aux questions : Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On considère une urne contenant 8 boules indiscernables au toucher. Une boule est rouge, trois sont jaunes et quatre
sont vertes.
Soit les événements :
R « obtenir une boule rouge ».
J « obtenir une boule jaune ».
V « obtenir une boule verte ».
On effectue deux tirages successifs avec remise, c'est-à-dire que la boule tirée lors du premier tirage est remise
dans l’urne avant d’effectuer le second tirage.
Représenter l’arbre des possibles en précisant les probabilités pour chaque tirage. Cet
arbre est appelé arbre pondéré. (Arrondir au millième si nécessaire) Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Remarques : - La somme des probabilités à partir d’un même nœud est égale à 1. - Sur un même chemin les probabilités se multiplient.
Répondre aux questions. On fera apparaitre
les issues dans l'ordre d'écriture R,J et V. Le nombre de cases réponses est supérieur au nombre nécessaire... Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Pour ce qui suit les résultats seront donnés au millième si nécessaire.
Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé. L’
« univers des possibles » est restreint par la condition.
Soient A et B deux événements tels que la probabilité de A est non nulle. La probabilité conditionnelle de B sachant
que A est réalisée, noté pA(B), est définie par :
pA(B) =
p(A⋂B) ━━━━━━
p(A)
avec p(A) ≠ 0. pA(B) se lit probabilité de B sachant A.
Cette formule peut évoluer en utilisant le cardinal qui correspond à l’effectif (nombre d’issues possibles) :
Deux ateliers de production A et B ont fabriqué 300 pièces au total ; certaines avec un défaut. L’atelier A a produit
200 pièces dont 6 sont défectueuses. Le nombre total des pièces défectueuses est 10.
On note A la pièce provient de l’atelier A, B la pièce provient de l’atelier B et D la pièce présente un défaut.
A
B
TOTAL
D
6
4
10
D
194
96
290
Total
200
100
300
Répondre aux questions. Pour ce qui suit les résultats seront donnés au millième si nécessaire. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Une urne contient 25 boules : 10 bleues (B) et 15 vertes (V).
8 boules bleues et 6 boules vertes sont marquées Gagné (G).
On effectue un tirage, compléter l’arbre de probabilité, puis répondre aux questions..
Pour ce qui suit les résultats seront donnés au millième si nécessaire. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
On veut connaitre la probabilité d’obtenir une boule bleue marquée Gagné, ce qui revient à calculer p(B⋂G).
p(B⋂G) = p(B) x pB(G) = 0,4 x 0,8 = 0,32.
Remarque : P(B⋂G) = P(B) x PB(G), ce qui en modifiant l’égalité redonne PB(G) =
On reprend l’exemple précédent :
Une urne contient 25 boules : 10 bleues (B) et 15 vertes (V).
8 boules bleues et 6 boules vertes sont marquées Gagné (G).
On effectue deux tirages successifs avec remise.
Soit B l’événement « On tire une boule bleue ».
Soit G l’événement « On tire une boule marquée Gagné ».
Soit B⋂G l’événement « On tire une boule bleue marquée Gagné ».
a) Calculer la probabilité de tirer une boule marquée Gagné sachant qu’elle est bleue.
On utilise la formule: PB(G) =
Card(B⋂G) ━━━━━━
card(B)
=
8 ━━━
10
= 0,8 .
b) Calculer la probabilité de tirer une boule marquée Gagné sachant qu’elle est verte. Il n’y a pas de lettre correspondante à l'événement « la boule tirée est verte », on peut simplement dire que si elle est verte, c’est qu’elle n’est pas bleue, on écrira l’événement : B .
Exercice N°1: Dans un lot de 32 produits, 8 ont subi un contrôle C1 et 12 un contrôle C2 ; 3 ont subi les deux contrôles. Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
Exercice N°2: Dans un village de 10 000 habitants, suite à un certain nombre de cas d’une maladie qui touche 0,1% des cas, un dépistage systématique est organisé.
L’information donnée est « Si vous êtes malade, le test sera positif dans 90% des cas ; si vous n’êtes pas malade, le test sera négatif dans 97% des cas ».
On considère les événements :
M « La personne choisie est malade ».
T « Le test est positif ».
Vous passez le test et le résultat est positif. Vous vous demandez si vous êtes malade. Répondre aux questions. Les erreurs sont mises en évidence par la couleur rouge donnée à celles-ci...
